2.5.A

Gegeben

Symbole:

\[M_T, G, l, r\]

Torsionsträgheitsmoment für Stab mit kreisförmigem Vollquerschnitt:

\[I_T = \tfrac \pi 2 r^4\]

Größen:

\[\begin{split}M_T &= 400 \, \mathrm{Nm} \\ G &= 80 \, \mathrm{GPa} \\ l &= 350 \, \mathrm{mm} \\ r &= 15 \, \mathrm{mm}\end{split}\]

Werte für Antriebswelle eines BMW 5er Touring
Annahme: Gesamtes Motor-Moment wird auf einem Rad auf den Boden übertragen

a) Verdrehwinkel am rechten Rand

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie den Verdrehwinkel am rechten Rand. Zeigen Sie, dass:

\[\varphi (x=l) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}3^\circ\]

Lösung

Durch Integration der Differentialgleichung

\[\varphi ' = \tfrac{M_T}{GI_T}\]

folgt die allgemeine Lösung:

\[\varphi (x) = \tfrac{M_T}{GI_T}x+C\]

Wegen der Randbedingung \(\varphi (0)=0\) ist \(C=0\). Und damit ist die spezielle Lösung:

\[\varphi (x) = \tfrac{M_T}{GI_T}x\]

Einsetzen von \(I_T=\tfrac \pi 2 r^4\) liefert die Behauptung.

b) Verdrehwinkel in der Mitte

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie den Verdrehwinkel in der Mitte. Zeigen Sie, dass:

\[\varphi \left(x=\tfrac l 2\right) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 0{,}6^\circ\]

Lösung

In der Mitte ist:

\[\varphi \left(\tfrac l 2\right) = \tfrac12 \varphi(l)\]

Dies liefert die Behauptung.

c) Maximale Schubspannung

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die maximale Schubspannung \(\tau_{\mathsf{max}}\). Zeigen Sie, dass:

\[\tau_{\mathsf{max}}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 75{,}5\,\mathrm{MPa}\]

Lösung

Maximale Spannung am Rand des Querschnitts:

\[\tau_{\mathsf{max}} =\tfrac{M_T}{I_T}r\]

Einsetzen der Größen liefert die Behauptung.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

Nm        =  N*m

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

MT, G, l, r = symbols("MT, G, l, r")

sub_list = [
    ( MT, 400 *Nm  ),
    ( G,   80 *GPa ),
    ( l,  350 *mm  ), 
    ( r,   15 *mm  ), 
    ]

r3 = r*r*r
r4 = r3*r
I = pi/2*r4

pprint("\nφ(l) / deg:")
p = MT / (G*I) *l
printout(p, unit=deg, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nφ(½l) / deg:")
printout(p/2, unit=deg, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nτ max / MPa:")
printout(MT / I *r, unit=MPa, prec=1, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.