2.5.B

Gegeben

Symbole:

\[M_T, G, l, r, R\]

Trägheitsmoment \(I_T\) eines kreisförmigen Vollquerschnitts abhängig von dessen Radius \(\tilde r\):

\[I_T = \tfrac{\pi}{2}\tilde r^4\]

Konischer Stab mit kreisförmigem Vollquerschnitt mit Kreisradius \(R\) bei \(x=0\) und \(r\) bei \(x=l\).

Berechnen Sie den Verdrehwinkel am rechten Ende. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Radius-Funktion

Sei \(\tilde r(x)\) der Radius des Querschnitts, welcher linear von \(x\) abhängt. Berechnen Sie \(\tilde r(x)\) für die gegebenen Symbole.

\[\tilde r =\dots\]

Lösung

Der Funktionsgraph \(\tilde r(x)\) ist eine Lineare Funktion, und es gilt:

\[\begin{split}\tilde r(0)&= R \\ \tilde r(l)&= r\end{split}\]

Das führt auf:

\[\tilde r = R - (R - r) \tfrac x l\]

wie man durch Einsetzen prüfen kann.

b) Torsionsträgheitsmoment

Sei \(I_T(x)\) das Torsionsträgheitsmoment des Querschnitts abhängig von \(x\). Berechnen Sie \(I_T(x)\) für die gegebenen Symbole.

\[I_T = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}I_T &=\tfrac{\pi}{2}\tilde r^4 \\ &= \tfrac{\pi}{2} \left( R - \tfrac{R - r}{l} x\right)^4\end{split}\]

c) Integral-Berechnung

Sei ab hier gegeben:

\[I_T = \tfrac{\pi}{2} \left( R - \tfrac{R - r}{l} x\right)^4\]

Berechnen Sie das Integral:

\[S = \int_{x=0}^l \tfrac{1}{I_T} \,{d} x\]

Zeigen Sie, dass:

\[S = \tfrac{2 l \left(r^{2} + r R + R^{2}\right)}{3 \pi r^{3} R^{3}}\]

Lösung

\[\begin{split}S &= \tfrac 2 \pi \int_{x=0}^l \left( R - \tfrac{R - r}{l} x\right)^{-4} \,{d} x \\ &= - \tfrac 2 \pi \tfrac13 \left[ \left( R - \tfrac{R - r}{l} x\right)^{-3} \left( - \tfrac{l}{R - r} \right)\right]_0^l \\ &= \dots \\ &= \tfrac{2 l \left(r^{2} + r R + R^{2}\right)}{3 \pi r^{3} R^{3}}\end{split}\]

d) Verdrehwinkel

Sei \(\varphi\) der Verdrehwinkel des Querschnitts abhängig von \(x\). Verwenden Sie \(\varphi' = \tfrac{M_T}{G I_T}\). Integrieren Sie, und berechnen Sie den Verdrehwinkel bei \(x=l\) für die gegebenen Symbole.

\[\varphi(l)=\dots\]

Lösung

Verdrehwinkel:

\[\begin{split}\varphi(l) &= \varphi(0)+ \int_{x=0}^l \varphi' \,{d} x \\ &= 0+ \tfrac{M_T}{G} S\end{split}\]

Einsetzen von \(S\) führt auf:

\[\begin{split}\varphi(l) &= 0 + \tfrac{M_T}{G} S \\ &= \tfrac{M_T}{G} \tfrac{2 l \left(r^{2} + r R + R^{2}\right)}{3 \pi r^{3} R^{3}}\end{split}\]

e) Ergebnis für Größen

Berechnen Sie \(\varphi(l)\) für folgende Größen:

\[\begin{split}M_T &= 10 \,\mathrm{Nm} \\ G &= 80 \,\mathrm{GPa} \\ l &= 1 \,{\mathrm{m}} \\ r &= 5 \,\mathrm{mm} \\ R &= 10 \,\mathrm{mm}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\varphi\left(l\right) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}13 ^\circ\]

Lösung

Einsetzen führt auf:

\[\begin{split}\varphi\left(l\right) &= \tfrac{7}{60 \pi} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}13 ^\circ\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

M, G, l, R, r = symbols("M, G, l, R, r")

sub_list=[
    ( M, 10  *N*m ),
    ( G, 80  *GPa ),
    ( l,  1  *m   ),
    ( r,  5  *mm  ),
    ( R, 10  *mm  ),
    ]

x = symbols("x")

rx = R - (R-r)*x/l
I = pi/2*rx**4

# Integrand:
i = 1 / I.simplify()
S = integrate(i, (x, 0, l))

pprint("\nφ(l):")
tmp = M/G*S
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nφ(l):")
tmp = tmp.subs(sub_list)
pprint(tmp)

pprint("\nφ(l) / deg:")
tmp /= deg
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.