2.6.A

Gegeben

Gegebene Symbole: \(a, M_B, EI.\)

a) Biegemoment-Funktion

Zeigen Sie an einem Freischnitt, dass:

\[M(x) = (a-x)B_v + M_B\]

wenn Sie das Lager bei B durch eine zunächst unbekannte Lagerkraft \(B_v\) ersetzen.

Lösung

\[M(x) = (a-x)B_v + M_B\]

Bemerkung

\(M(x)\) kann auch an einem Freischnitt mit positivem Schnittufer berechnet werden, aber dazu müssten die Lagerreaktionen bei A bekannt sein oder zuvor berechnet werden.
Der Freischnitt mit negativem Schnittufer ermöglicht es, \(M(x)\) zu berechnen, ohne die Lagerreaktionen bei A zu kennen.

b) Virtuelles Biegemoment

Das Biegemoment aufgrund der wirklichen Lasten kennen Sie jetzt. Ergänzen Sie am Lager bei B eine virtuelle Kraft \(\delta B_v\). Und berechnen das Biegemoment aufgrund der virtuellen Lasten. Zeigen Sie, dass:

\[\delta M(x) = (a-x) \delta B_v\]

Lösung

\[\delta M(x) = (a-x) \delta B_v\]

c) Virtuelle Ergänzungsenergie

Berechnen Sie die virtuelle Ergänzungsenergie:

\[\delta W^* = \int \delta M \tfrac{M}{EI} \,\mathsf{d}x\]

Zeigen Sie, dass:

\[\delta W^* = \tfrac{1}{EI} \left\{\delta B_v \left( \tfrac 13 B_v a^3 + \tfrac 1 2 M_B a^2 \right) \right\}\]

Lösung

Es gilt:

\[\delta W^* = \int \delta M \tfrac{M}{EI} \,\mathsf{d}x\]

Einsetzen von \(M = (a-x)B_v + M_B\) und \(\delta M = (a-x) \delta B_v\) und Integrieren liefert:

\[\delta W^* = \tfrac{1}{EI} \left\{\delta B_v \left( \tfrac 13 B_v a^3 + \tfrac 1 2 M_B a^2 \right) \right\}\]

d) Virtuelle Ergänzungsarbeit

Zeigen Sie, dass die virtuelle Ergänzungsarbeit null ist, d.h.:

\[\delta A^* = 0\]

Lösung

Die virtuelle Ergänzungsarbeit ist gleich dem Produkt aus virtueller Kraft und (tatsächlicher) Verschiebung. Die Verschiebung ist gleich null. Und darum ist auch die virtuelle Ergänzungsarbeit gleich null.

e) Prinzip der virtuellen Arbeit

Zeigen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit, dass:

\[B_v = - \tfrac 3 2 \tfrac{M_B}{a}\]

Lösung

\[\begin{split}\delta W^* &= \delta A^* \\ 0&= \tfrac{1}{EI} \left\{\delta B_v \left( \tfrac 13 B_v a^3 + \tfrac 1 2 M_B a^2 \right) \right\} \\ 0&= \delta B_v \left( \tfrac 13 B_v a^3 + \tfrac 1 2 M_B a^2 \right) \\ 0&= \tfrac 13 B_v a^3 + \tfrac 1 2 M_B a^2 \\ B_v &= - \tfrac 3 2 \tfrac{M_B}{a}\end{split}\]

f) Biegemoment

Zeigen Sie, dass mit \(\xi = \tfrac x a\):

\[M = \tfrac{M_B}{2} \left\{3 \xi - 1\right\}\]

Lösung

Einsetzen von \(B_v = - \tfrac 3 2 \tfrac{M_B}{a}\) in \(M(x) = (a-x)B_v + M_B\) liefert:

\[\begin{split}M(x) &= - \tfrac 3 2 (a-x)\tfrac{M_B}{a} + M_B \\ &= - \tfrac 3 2 M_B \left( 1 - \tfrac x a \right) + M_B \\ &= \tfrac{M_B}{2} \left( -3 + 3 \tfrac x a \right) + M_B \\ &= \tfrac{M_B}{2} \left( -1 + 3 \tfrac x a \right) \\ &= \tfrac{M_B}{2} \left\{3 \xi - 1\right\}\end{split}\]

g) Verkrümmung

Zeigen Sie, dass:

\[w'' = \tfrac{M_B}{2 EI} \left\{- 3 \xi + 1\right\}\]

Lösung

\[\begin{split}w'' &= -\tfrac{1}{EI}M \\\end{split}\]

h) Querverschiebung

Zeigen Sie, dass nach Integration und wegen der Randbedingungen \(w'(x=0)=0\) und \(w(x=0)=0\) gilt:

\[\begin{split}w' &= \tfrac{M_B a}{EI} \left\{ - \tfrac{3 }{4}\xi^{2} + \tfrac{1}{2}\xi \right\} \\ w &= \tfrac{M_B a^2}{EI} \left\{ - \tfrac{1}{4}\xi^{3} + \tfrac{1}{4}\xi^{2} \right\}\end{split}\]

Vergleichen Sie das mit der Lösung aus 2.4.3.F.

Lösung

Integrieren und Integrationskonstanten mit Randbedingungen berechnen liefert die Behauptung. Vergleich zeigt: Beide Wege führen auf dieselbe Lösung.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

a, MB, EI = symbols("a, MB, EI")

x, xi = symbols("x, xi")
B = symbols("B")

i1 = B * (a-x)**2
i2 = MB * (a-x)
I1 = integrate(i1, (x, 0,a))
I2 = integrate(i2, (x, 0,a))

pprint("\nB:")
eq = Eq(I1 + I2, 0)
sol = solve(eq, B)
B = sol[0]
pprint(B)

pprint("\nM:")
M = B*(a - x) + MB
tmp = M.subs(x, xi*a)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nw'':")
wpp = - M /  EI
tmp = wpp.subs(x, xi*a)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nw':")
fac = MB * a / EI
wp = integrate(wpp, x)
tmp = wp.subs(x, xi*a)
tmp /= fac
tmp = tmp.simplify()
tmp = tmp.expand()
pprint(tmp)

pprint("\nw:")
fac = MB * a**2 / EI
w = integrate(wp, x)
tmp = w.subs(x, xi*a)
tmp /= fac
tmp = tmp.simplify()
tmp = tmp.expand()
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

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Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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