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2.7.A

../../../_images/2.7.A.png

Gegebene Symbole: \(a, 0 < \bar{x}< a, \bar{M}, EI.\)

Unten finden Sie ein Diagramm, in dem einige Ergebnisse graphisch dargestellt sind.

Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Schnittmoment

Berechnen Sie das Schnittmoment \(M(x).\) Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}M(x) = \begin{cases} \bar{M} \tfrac{x}{a} & 0 < x < \bar{x} \\ \bar{M} (\tfrac{x}{a}- 1) & \bar{x} < x < a \end{cases}\end{split}\]

Bzw. zeigen Sie, dass mit den Abkürzungen \(\xi = \tfrac{x}{a}\) und \(\bar \xi = \tfrac{\bar{x}}{a}\) gilt:

\[\begin{split}M(\xi) = \begin{cases} \bar{M} \xi & 0 < \xi < \bar \xi \\ \bar{M} (\xi- 1) & \bar \xi < \xi < 1 \end{cases}\end{split}\]

Details

An der Position, bei der das Moment \(\bar M\) wirkt, sind die Biegemoment-Funktionen nicht definiert. An dieser Position ist eine Sprungstelle = eine Umstetigkeitsstelle.

Lösung

../../../_images/2.7.A_1.png

b) Formänderungsenergie

Berechnen Sie die Formänderungsenergie \(W.\) Zeigen Sie, dass:

\[W = \tfrac 1 2 \left\{ {\bar{\xi}}^2- {\bar{\xi}} + \tfrac{1}{3} \right\} \tfrac{\bar{M}^2 a}{EI}\]

Lösung

Formänderungsenergie der Bereiche:

\[\begin{split}W = \begin{cases} \tfrac{1}{2 EI} \int_{x=0}^{\bar x} \bar{M}^2 \left(\tfrac{x}{a}\right)^2 \, {\mathsf d} x & 0 < x < \bar{x} \\ \tfrac{1}{2 EI} \int_{x=\bar x}^{a} \bar{M}^2 (\tfrac{x}{a}- 1)^2 \, {\mathsf d} x & \bar{x} < x < a \end{cases}\end{split}\]

Insgesamt:

\[W = \tfrac{{\bar M}^{2}}{2 EI} \left\{ \tfrac 1 3 a - \bar x + \tfrac 1 a {\bar x}^{2} \right\}\]

Einsetzen von \(\bar x = \bar \xi a\) liefert die Behauptung.

c) Neigung

Berechnen Sie den Neigungswinkel \(\bar{\psi}\) bei \(\bar{x}\) mit dem Arbeitssatz. Zeigen Sie, dass:

\[\bar{\psi} = \left\{{\bar{\xi}}^{2} - {\bar{\xi}} + \tfrac{1}{3} \right\} \tfrac{\bar{M} a}{EI}\]

Lösung

Arbeitssatz:

\[\tfrac 1 2 \bar{M} \bar{\psi} = W\]

Das berechnete \(W\) einsetzen liefert:

\[\begin{split}\tfrac 1 2 \bar{M} \bar{\psi} &= \tfrac 1 2 \left\{ {\bar{\xi}}^2- {\bar{\xi}} + \tfrac{1}{3} \right\} \tfrac{\bar{M}^2 a}{EI} \\ \bar{\psi} &=\left\{ {\bar{\xi}}^2- {\bar{\xi}} + \tfrac{1}{3} \right\}\tfrac{\bar{M} a}{EI} \\\end{split}\]

d) Neigung für Beispiel

Berechnen Sie den Neigungswinkel in \(^\circ\) (Grad) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für folgende Größen:

\[\begin{split}a &= 10 \, \mathrm{m} \\ \bar{x} &= 5 \, \mathrm{m} \\ \bar{M} &= 10 \, \mathrm{m} \cdot 30 \, \mathrm{kN} = 300 \, \mathrm{kNm}\\ EI &= 200 \, \mathrm{GPa} \cdot 4000 \, \mathrm{cm^4} = 8 \cdot 10^6 \, \mathrm{N}\mathrm{m}^2\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\bar{\psi} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}8\,^\circ\]

Details

Das ist ein anschauliches Beispiel:

  • In der Mitte eines \(10 \, \mathrm{m}\) langen Stahlträgers bei \(\bar{x} = 5 \, \mathrm{m}\) wird ein Moment erzeugt.

  • Das Moment wird erzeugt mit einem \(10 \, \mathrm{m}\) langen Hebel und mit einer Kraft von \(30 \, \mathrm{kN}\) = der Gewichtskraft eines vollen 5er BMWs.

  • Flächenträgheitsmoment siehe Eurocodes.

Eurocodes

  • Das Flächenträgheitsmoment \(I = 4000 \, \mathrm{cm^4}\) entspricht ca. dem eines HEA-200-Profils nach DIN 1025-3, Euronorm 53-62, EN 1993-1-1:2005 aus Eurocode 3.

  • Eigenschaften derartiger Träger kann man berechnen auf dieser Page.

Lösung

Das gesuchte \(\bar{\psi}\) ist proportional zum Faktor \(\tfrac{\bar{M}a}{EI}\). Diesen Faktor berechnen für die gegebenen Größen liefert:

\[\tfrac{\bar{M}a}{EI} = \tfrac{3}{8}\]

Außerdem ist gegeben:

  • \(\bar{x} = 5 \, \mathrm{m}\) und

  • \(a = 10 \, \mathrm{m}.\)

Damit ergibt sich:

\[\begin{split}{\bar{\xi}} &= \tfrac{\bar x}{a} \\ &=\tfrac 1 2\end{split}\]

Das mit dem Arbeitssatz berechnete \(\bar \psi\) für die Größen ist damit:

\[\begin{split}\bar\psi &= \left\{{\bar{\xi}}^{2} - {\bar{\xi}} + \tfrac{1}{3} \right\} \tfrac{\bar{M} a}{EI} \\ &= \left\{ \tfrac 1 4 - \tfrac 1 2 + \tfrac{1}{3} \right\} \tfrac{3}{8} \\ &= \left\{ \tfrac{1}{12} \right\} \tfrac{3}{8} \\ &= \tfrac{1}{32} \\ &= 0{,}03125\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}8\,^\circ\end{split}\]

Das Ergebnis \(\bar\psi = 0{,}03125 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}8\,^\circ\) kann man auch im Diagramm näherungsweise ablesen:

  • In der Mitte des türkisfarbenen Funktionsgraphs bei \(\xi=0{,}5\) als Funktionswert \(\psi(\xi=0{,}5) = \bar \psi\) ablesen:

    \[\tfrac{3 \bar \psi}{\bar{M} a / (EI)} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}250\]

  • Den Faktor \(\tfrac{\bar{M}a}{EI} = \tfrac{3}{8}\) einsetzen:

    \[\begin{split}3\bar \psi &\approx 0{,}250 \cdot \tfrac{3}{8} \\ &\approx 0{,}09375\\ \bar \psi &\approx 0{,}03125\end{split}\]

Dieses im Diagramm abgelesene \(\bar \psi\) ist dasselbe wie das vorher berechnete \(\bar \psi.\)

e) Querkraft

Berechnen Sie das Querkraft \(Q(x).\) Zeigen Sie, dass für alles \(0 < x < a\) gilt:

\[Q(x) = \tfrac{\bar{M}}{a}\]

Bzw. zeigen Sie, dass für alles \(0 < \xi < 1\) gilt:

\[Q(\xi) = \tfrac{\bar{M}}{a}\]

Lösung

Freikörperbilder wie bei der Berechnung von \(M(x)\) verwenden. Die Querkraft ist also konstant und unabhängig davon, an welcher Position das Moment \(\bar M\) wirkt.

Diagramm

Mit dem Schieberegler stellt man ein, an welcher Position \(\bar x\) das Moment \(\bar M\) wirkt.

Beam Deformation

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate, diff

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

kNm       = k*N*m

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# --- Start of Input ---

a, xb, Mb, EI, psi = symbols("a, x̄, M̅, EI, psi")

sub_list=[
    ( a,     10   *m              ),
    ( xb,     5   *m              ),
    ( Mb,   300   *kN*m           ),
    ]

# sub_list=[
#     ( a,     20   *m              ),
#     ( xb,    10   *m              ),
#     ( Mb,   300   *kN*m           ),
#     ]

# sub_list=[
#     ( a,     10   *m              ),
#     ( xb,     7   *m              ),
#     ( Mb,   300  * kN*m           ),
#     ]

# sub_list=[
#     ( a,     10   *m              ),
#     ( xb,     8   *m              ),
#     ( Mb,  -200   *kN*m           ),
#     ]

# sub_list=[
#     ( a,      4   *m              ),
#     ( xb,     1   *m              ),
#     ( Mb,   500   *kN*m           ),
#     ]

sub_list.append(
    ( EI,  200 *GPa * 4000 *cm**4 )
    )

# --- End of Input ---

x, xi, xib = symbols("x, ξ, ξ̄ ")

print("\n\n(Av, Bv):")
Av, Bv = symbols("Av, Bv")
eq1 = Eq(Av *a, Mb)
eq2 = Eq(Bv *a, -Mb)
sol = solve([eq1, eq2], [Av, Bv])
Av, Bv = sol[Av], sol[Bv]
pprint(Av)
pprint(Bv)

print("\n(Av, Bv) / kN:")
printout(Av, unit=kN, prec=1, sub_list=sub_list)
printout(Bv, unit=kN, prec=1, sub_list=sub_list)

print("\n\n(M1, M2) / kNm:")
# Left of xb:
Ml = Mb*x/a
x1 = xb/2
tmp = Ml.subs(x, x1)
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= kNm
pprint(tmp)

# Right of xb:
Mr = Ml - Mb
x2 = xb + (a-xb)/2
tmp = Mr.subs(x, x2)
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= kNm
pprint(tmp)

# Factors:
f1 = Mb*a/EI
f2 = Mb*Mb*a/EI

print("\n\nW / (M̅² a / EI):")
W1 = integrate(Ml*Ml, (x, 0, xb))
W2 = integrate(Mr*Mr, (x, xb, a))
W = half*(W1 + W2)/EI
tmp = W
tmp /= f2
tmp = tmp.subs(xb, xib*a)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

print("\nW / kNm:")
printout(W, unit=kNm, prec=2, sub_list=sub_list)

print("\n\nψ̄ / (M̅ a / EI):")
eq = Eq(Mb*psi/2, W)
sol = solve(eq, psi)
psi = sol[0]
tmp = psi
tmp /= f1
tmp = tmp.subs(xb, xib*a)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)
print("\nψ̄ / deg:")
printout(psi, unit=deg, prec=1, sub_list=sub_list)



# print("\nw-Function and ψ-Function for Plotting:")

# # Constants of Integration:
# C1, C2, C3, C4 = symbols('C1, C2, C3, C4')

# w1pp = - 1/EI*Ml 
# w1p = integrate(w1pp,x) + C1
# w1 =  integrate( w1p,x) + C2

# w2pp = - 1/EI*Mr 
# w2p = integrate(w2pp,x) + C3
# w2 =  integrate( w2p,x) + C4

# bc1 = Eq(w1.subs(x,0), 0)                  # w1(0) = 0
# bc2 = Eq(w1.subs(x,xb), w2.subs(x,xb))     # w1(xb) = w2(xb)
# bc3 = Eq(w1p.subs(x,xb), w2p.subs(x,xb))   # w1'(xb) = w2'(xb)
# bc4 = Eq(w2.subs(x,a), 0)                  # w2(a) = 0

# eqns = [bc1, bc2, bc3, bc4]
# unks = [C1, C2, C3, C4]

# sol = solve(eqns, unks)
# sC1 = sol[C1]
# sC2 = sol[C2]
# sC3 = sol[C3]
# sC4 = sol[C4]

# w1 = w1.subs({C1: sC1, C2: sC2})
# w2 = w2.subs({C3: sC3, C4: sC4})
# p1 = - diff(w1, x)
# p2 = - diff(w2, x)

# # Make unitless:
# fw = Mb*a*a/EI
# fp = Mb*a/EI

# w1/= fw
# w2/= fw
# p1/= fp
# p2/= fp

# sub_list=[
#     ( xb, xib*a ),
#     (  x,  xi*a ),
#     ] 

# w1 = w1.expand()
# w2 = w2.expand()
# p1 = p1.expand()
# p2 = p2.expand()
# w1 = w1.subs(sub_list)
# w2 = w2.subs(sub_list)
# p1 = p1.subs(sub_list)
# p2 = p2.subs(sub_list)

# print("\n(w1, w2) / ( M̅ a² / EI ):")
# pprint(w1)
# pprint(w2)

# print("\n(ψ1, ψ2) / ( M̅ a / EI ):")
# pprint(p1)
# pprint(p2)

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.