2.8.A

Ähnliche Aufgabe

2.1.B

Gegeben

Gegebene Symbole: \(a, F, E, A, I.\)

Beide Stäbe haben einen kreisförmigen Querschnitt mit Flächeninhalt \(A\) und Flächenträgheitsmoment \(I\).

a) Geometrie

Zeigen Sie, dass die Länge des undeformierten Stabs 2 ist:

\[l_2 = \sqrt5 a\]

Lösung

Pythagoras:

\[\begin{split}l_2^2 &= a^2 + (2a)^2 \\ &= (1+4) a^2 \\ &= 5 a^2 \\ \\ l_2 &= \sqrt5 a\end{split}\]

b) Kosinus und Sinus

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\cos \alpha &= \tfrac{2}{\sqrt 5} \\ \sin \alpha &= \tfrac{1}{\sqrt 5}\end{split}\]

Lösung

\[\cos \alpha = \tfrac{2 a}{\sqrt5 a} = \tfrac{2}{\sqrt5}\]

\[\sin \alpha = \tfrac{1 a}{\sqrt5 a} = \tfrac{1}{\sqrt5}\]

c) Stab-Zugkräfte

Zeigen Sie mit einem Schnitt um den oberen Knoten, dass die Zug-Kräfte in den Stäben sind:

\[\begin{split}S_2 &= \tfrac{\sqrt5}{2}F \\ S_1 &= -\tfrac12 F\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\rightarrow\qquad 0 &= F - S_2 \cos\alpha \\ S_2 &= \tfrac{F}{\cos\alpha} \\ &= \tfrac{\sqrt5}{2} F \\ \\ \uparrow\qquad 0 &= - S_1 - S_2 \sin\alpha \\ S_1 &= - S_2 \sin\alpha \\ &= -F \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ &= - \tfrac12 F\end{split}\]

d) Kritische Last

Geben Sie die Druckkraft \(P_{1, \mathsf{crit}}\) an, bei der Stab 1 ausknickt:

\[P_{1, \mathsf{crit}}= \dots\]

Lösung

\[P_{1, \mathsf{crit}} = EI \left(\tfrac{\pi}{a}\right)^2\]

e) Sicherheitsfaktor

Berechnen Sie die äußere Kraft \(F\), für die Stab 1 einen Knick-Sicherheitsfaktor 2 erreicht.

Lösung

Druckkraft im Stab 1:

\[P_1 = \tfrac12 F\]

Bei Sicherheit 2 muss die Druckkraft im Stab 1 halb so groß sein wie die kritische Druckkraft:

\[\begin{split}P_1 = \tfrac12 F &\stackrel{!}{=} \tfrac12 P_{1, \mathsf{crit}} \\ F &= P_{1, \mathsf{crit}}\end{split}\]

f) Verkürzung

\(\Delta l\) sei die Verlängerung des Stabs 1. Also ist \(-\Delta l\) die Verkürzung. Berechnen Sie die Verkürzung von Stab 1 aufgrund elastischer Verformung - für den Fall, dass als äußere Kraft \(F\) anliegt. Zeigen Sie, dass:

\[- \Delta l = \tfrac12 \tfrac{Fa}{EA}\]

Lösung

Mit Hookeschem Gesetz 1D:

\[\sigma = E \varepsilon\]

und Dehnung:

\[\varepsilon = \tfrac{\Delta l}{a}\]

und Spannung:

\[\sigma = \tfrac{S_1}{A}\]

ist:

\[\begin{split}\tfrac{S_1}{A} &= E \tfrac{\Delta l}{a} \\ \tfrac{-\tfrac12 F}{A} &= E \tfrac{\Delta l}{a} \\ -\Delta l &= \tfrac12 \tfrac{Fa}{EA}\end{split}\]