3.1.1.A

Gegeben

../../../../_images/3.1.1.A.png

Größen:

Zeit \(t\)

Position \(x\)

Geschwindigkeit \(v\)

\(t_0 = 0 \,\mathrm{s}\)

\(0 \,\mathrm{m}\)

\(v_0=10 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\)

\(t_1 = 20 \,\mathrm{s}\)

\(150 \,\mathrm{m}\)

  • Eine Punktmasse \(m\) bewegt sich mit konstanter Beschleunigung \(a\) zwischen A und B.

  • Zum Zeitpunkt \(t_0= 0 \,\mathrm{s}\) ist die Punktmasse bei A und hat die Geschwindigkeit \(v_0=10 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\).

  • Zum Zeitpunkt \(t_1= 20 \,\mathrm{s}\) ist die Punktmasse bei B.

a) Vektoren

Zeichnen Sie die Masse \(m\) an einer beliebigen Position zwischen A und B. Zeichnen Sie dazu:

  • Einen Pfeil für \(x\), sodass \(x\) die Position von \(m\) ist.

  • Einen Pfeil für \(v\), sodass \(v\) die Geschwindigkeit von \(m\) ist.

  • Einen Pfeil für \(a\), sodass \(a\) die Beschleunigung von \(m\) ist.

Lösung

../../../../_images/3.1.1.A_1.png

Größe

Pfeil

Symbol

Einheit

Position

vom Ursprung zu \(m\)

\(x\)

\(\mathrm{m}\)

Geschwindigkeit

an Punktmasse

\(v\)

\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

Beschleunigung

an Punktmasse

\(a\)

\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

Details

  • Zur Definition eines Vektors benötigt man einen Pfeil zur Festlegung der Zählrichtung einerseits - und eine Beschriftung des Pfeils andererseits.

  • Bei der Position des Teilchens (Ortsvektor) benötigt man zusätzlich einen festen Nullpunkt/Ursprung. Und man zeichnet den Pfeil an diesen Ursprung.

  • Die zu \(v\) und \(a\) gehörenden Pfeile zeichnet man an die Punktmasse. Denn \(v\) zeigt Geschwindigkeit der Punktmasse dort, wo die Punktmasse im betrachteten Moment ist.

  • Die Pfeilrichtungen hängen in natürlicherweise zusammen, weil \(v\) die Zeitableitung von \(x\) ist und \(a\) die Zeitableitung von \(v\). Daher ist es erlaubt, nur einen Pfeil zu zeichnen und damit eine einzige positive Zählrichtung festzulegen, die für alle drei Größen gilt.

b) Geschwindigkeit

Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v\) abhängig von

  • der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\),

  • der Zeit \(t\) und

  • der bisher unbekannten Beschleunigung \(a\).

\[v(t)= \ldots\]

Lösung

\[v(t) = v_0 + a t\]

Bei konstanter Beschleunigung ist die Geschwindigkeit linear in \(t\).

c) Position

Berechnen Sie die Position \(x\) abhängig von \(v_0, t\) und \(a\):

\[x(t)= \ldots\]

Lösung

\[x(t) = \tfrac12 {a t}^2 + v_0 t\]

d) Beschleunigung

Berechnen Sie die gesuchte Beschleunigung \(a\). Zeigen Sie, dass:

\[a = - \tfrac{1}{4} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\]

Lösung

Es soll gelten:

\[x(20\,\mathrm{s}) = 150 \,\mathrm{m}\]

Dies eingesetzt in die Gleichung für \(x(t)\) ergibt eine Gleichung, in der \(a\) die einzige Unbekannte ist. Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[a = - \tfrac{1}{4} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\]

Die Beschleunigung ist negativ. D.h.:

  • Die Punktmasse wird immer, d.h. für alle betrachteten Zeitpunkte \(t\), nach rechts beschleunigt mit \(- \tfrac{1}{4} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\).

  • Die Punktmasse wird immer nach links beschleunigt mit \(+ \tfrac{1}{4} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\).

  • Die Geschwindigkeit, die nach rechts positiv gezählt wird, wird kleiner.

e) Geschwindigkeit

Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v_1\) zum Zeitpunkt \(t_1\). Zeigen Sie, dass:

\[v(t_1) = 5 \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

Lösung

Einsetzen dieser Beschleunigung in die Gleichung für die Geschwindigkeit führt auf:

\[\begin{split}v(t_1) &= a t_1 + v_0 \\ &= 5 \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]