3.1.1.C

Gegeben

../../../../_images/3.1.1.C.png

  • Ein Teilchen bewegt sich auf einer Bahn von A nach B, und zwar mit konstanter Bahngeschwindigkeit \(v= \lVert \boldsymbol v \rVert = 2 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\).

  • Zur Beschreibung der Bewegung werden Polarkoordinaten verwendet.

  • Der Geschwindigkeitsvektor zeigt bei A in Richtung \(\boldsymbol e_\varphi\) und bei B in Richtung \(\boldsymbol e_r\).

Berechnen Sie die \((r,\varphi)\)-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors bei A und bei B.

a) Komponenten des Geschwindigkeitsvektors

Es ist:

\[\boldsymbol v = v_r \boldsymbol e_r + v_\varphi \boldsymbol e_\varphi\]

Geben Sie an:

  • \(v_r\) bei A und

  • \(v_\varphi\) bei B.

Lösung

Allgemein:

\[\boldsymbol v = v_r \boldsymbol e_r + v_\varphi \boldsymbol e_\varphi\]

Der Geschwindigkeitsvektor tangiert die Bahn. Bei \(\mathsf{P_1}\) zeigt er in Richtung \(\boldsymbol e_\varphi\). Bei \(\mathsf{P_2}\) zeigt er in Richtung \(\boldsymbol e_r\). Daher:

  • bei A: \(v_r = 0 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\)

  • bei B: \(v_\varphi = 0 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\)

b) Betrag des Geschwindigkeitsvektors

Geben Sie eine Formel an zur Berechnung der des Betrags des Geschwindigkeitsvektors \(v\) aus den Komponenten \(v_r\) und \(v_\varphi\).

\[v =\lVert \boldsymbol v \rVert = \dots\]

Lösung

Betrag des Geschwindigkeitsvektors:

\[v = \sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2}\]

c) Komponenten bei A und B

Zeigen Sie mit den Ergebnissen aus a) und b), dass gilt:

  • bei A: \(v_\varphi = 2 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) und

  • bei B: \(v_r = 2 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\).

Lösung

Bei A:

\[\begin{split}2 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &= v \\ &= \sqrt{0^2 + v_\varphi^2} \\ &= v_\varphi \\\end{split}\]

Bei B:

\[\begin{split}2 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &= v \\ &= \sqrt{v_r^2 + 0^2} \\ &= v_r \\\end{split}\]

d) Komponenten-Matrix

Fassen Sie Ihre Ergebnisse zusammen. Tragen Sie die vorher berechneten Größen ein.

Bei A:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_r\\ v_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Bei B:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_r\\ v_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Lösung

Bei A:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_r\\ v_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\2 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Bei B:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_r\\ v_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2\\0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]