3.1.1.D

Ähnliche Aufgabe

3.3.T

Gegeben

../../../../_images/3.1.1.D.png

Symbole:

\[R, \omega\]

Größen:

\[\begin{split}R&=0{,}5 \,\mathrm{m}\\ \omega &= \tfrac{2 \pi}{3} \,\tfrac{1}{\mathrm{s}}\end{split}\]

  • Das Rad rollt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) nach rechts.

  • M ist ein Teilchen auf der Achse des Rads.

  • P ist ein Teilchen auf dem Umfang des Rads.

  • Zur Zeit \(t=0 \,\mathrm{s}\) berührt P den Ursprung des unbewegten kartesischen Koordinatensystems.

  • Vektor \(\boldsymbol d\) ist eine Speiche des Rads, die den Winkel \(\varphi\) abstreicht.

a) Winkel nach 1 Sekunde

Zur Zeit \(t = 0 \,\mathrm{s}\) steht die Speiche \(\boldsymbol d\) auf sechs Uhr, und es gilt: \(\varphi(0 \,\mathrm{s})=0{,}\) Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie den nach einer Sekunde abgestrichenen Winkel. Zeigen Sie, dass:

\[\varphi(1\,\mathrm{s}) = 120^\circ\]

Lösung

\[\begin{split}\dot \varphi &= \omega \\ \\ \varphi(t) &= \int_{\tilde t=0\,\mathrm{s}}^t \omega \, d \tilde t \\ &= \omega\int_{\tilde t=0\,\mathrm{s}}^t d \tilde t \\ &= \omega \left( t - 0\,\mathrm{s}\right) \\ &= \omega t \\ \\ \varphi\left(1\,\mathrm{s}\right) &=\omega \cdot 1\,\mathrm{s} \\ &= \tfrac{2 \pi}{3} \,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \, 1\,\mathrm{s} \\ &= \tfrac23 \pi \\ &= 120^\circ\end{split}\]

b) Position von M

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten \((x_M, y_M)\) des Ortsvektors \(\boldsymbol r_M\):

  • für die gegebenen Symbole für beliebiges \(t\) und

  • für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass für \(t=1\,\mathrm{s}\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \\ \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}05 \\ 0{,}5\\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

Mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} R \varphi\\ R \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Also:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \\ \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} \omega t \\ 1\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Mit Größen für \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} R \varphi (1\,\mathrm{s})\\ R\\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} R \tfrac23 \pi \\ R\\ \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}05 \\ 0{,}5\\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Details

Die Geschwindigkeit \(v_{Mx}\) ist, wie weiter unten gezeigt wird, konstant. Man kann \(x_M\) also auch berechnen über Integration der Geschwindigkeit:

\[\begin{split}x_M &= v_{Mx} t \\ &=R \omega t\end{split}\]

c) Geschwindigkeit von M

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten \((v_{Mx}, v_{My})\) des Geschwindigkeitsvektors von M:

  • für die gegebenen Symbole für beliebiges \(t\) und

  • für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass für \(t=1\,\mathrm{s}\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Mx} \\ v_{My} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{x_M} \\ \dot{y_M} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}05 \\ 0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Lösung

Zeitableitung des Ortsvektors zu M:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Mx} \\ v_{My} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot{x_M}\\ \dot{y_M} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \left(R \omega t\right) \!\dot{\vphantom{X}} \\ \dot{R} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} R \omega\\ 0 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Zur Zeit \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Mx} \\ v_{My} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{\pi}{3} \\ 0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}05 \\ 0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

d) Speichenvektor

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten \((d_x, d_y)\) des Speichen-Vektors \(\boldsymbol d\):

  • für die gegebenen Symbole für beliebiges \(t\) und

  • für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass für \(t=1\,\mathrm{s}\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} - 0{,}43 \\ 0{,}25 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

Die \((x,y)\)-Komponenten des Speichen-Vektors zur Zeit \(t=0\,\mathrm{s}\) sind \((0, -R)\). Dieser Vektor wird nun gedreht. Und zwar um den Winkel \(\varphi\) im Uhrzeigersinn - also um den Winkel \(-\varphi\) um die \(z\)-Achse. Die Komponenten von \(\boldsymbol d\) ändert sich darum gemäß Vektor: Transformation nach:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{-\varphi} & -s_{-\varphi} \\ s_{-\varphi} & c_{-\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -R \end{bmatrix}\end{split}\]

Mit \(s_{-\varphi}=-s_{\varphi}\) und \(c_{-\varphi}=c_{\varphi}\) wird daraus:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{\varphi} & s_{\varphi} \\ -s_{\varphi} & c_{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -R \end{bmatrix} \\ &= -R \begin{bmatrix} s_{\varphi} \\ c_{\varphi} \end{bmatrix} \\ &= - R \begin{bmatrix} s_{\omega t} \\ c_{\omega t} \end{bmatrix}\end{split}\]

Zur Zeit \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} - 0{,}43 \\ 0{,}25 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

e) Position von P

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Koordinaten des Teilchens P - also die Komponenten des Ortsvektors \(\boldsymbol r_P\) zu P:

  • für die gegebenen Symbole für beliebiges \(t\) und

  • für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass für \(t=1\,\mathrm{s}\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} x_P \\ y_P \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}61 \\ 0{,}75 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der zuvor berechneten Größen liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_P \\ y_P \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} \omega t - s_{\omega t} \\ 1 - c_{\omega t} \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Falls \(\omega\) nicht zeitlich konstant wäre:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} &= R \begin{bmatrix} \varphi \\ 1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \end{bmatrix} &= - R \begin{bmatrix} s_\varphi \\ c_\varphi \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_P \\ y_P \end{bmatrix} &= R \begin{bmatrix} \varphi - s_\varphi\\ 1 - c_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Zur Zeit \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_P \\ y_P \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}61 \\ 0{,}75 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

f) Geschwindigkeit von P

Berechnen Sie die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors von P:

  • für die gegebenen Symbole für beliebiges \(t\) und

  • für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass für \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Px} \\ v_{Py} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot{x_P}\\ \dot{y_P} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}57 \\ 0{,}91 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Lösung

Komponenten des Ortsvektors zu P:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_P \\ y_P \\ \end{bmatrix} &= R \begin{bmatrix} \omega t - s_{\omega t} \\ 1 - c_{\omega t} \end{bmatrix}\end{split}\]

Zeitableitung dieser Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Px} \\ v_{Py} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot{x_P}\\ \dot{y_P} \end{bmatrix} \\ &= R \begin{bmatrix} \omega - \omega c_{\omega t} \\ \omega s_{\omega t} \end{bmatrix} \\ &= R \omega \begin{bmatrix} 1 - c_{\omega t} \\ s_{\omega t} \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Falls \(\omega\) nicht zeitlich konstant wäre:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Px} \\ v_{Py} \end{bmatrix} &= R \dot\varphi \begin{bmatrix} 1 - c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Zur Zeit \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Px} \\ v_{Py} \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}57 \\ 0{,}91 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

g) Beschleunigung von P

Berechnen Sie die Komponenten des Beschleunigungsvektors von P

  • für die gegebenen Symbole für beliebiges \(t\)

  • für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass für \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \ddot{x_P}\\ \ddot{y_P} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{Px} \\ a_{Py} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}9 \\ -1{,}1 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Lösung

Zeitableitung der Komponenten des Geschwindigkeitsvektors von P:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{Px} \\ a_{Py} \\ \end{bmatrix} &= R \omega^2 \begin{bmatrix} s_{\omega t} \\ c_{\omega t} \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Falls \(\omega\) nicht zeitlich konstant wäre:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{Px} \\ a_{Py} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} R \ddot \varphi \\ 0 \end{bmatrix} -R \left\{ \ddot\varphi \begin{bmatrix} c_\varphi\\ -s_\varphi \end{bmatrix} - \dot\varphi^2 \begin{bmatrix} -s_\varphi\\ -c_\varphi \end{bmatrix} \right\}\end{split}\]

Z.B. für \(\varphi=0^\circ\) - also wenn Teilchen P den Boden berührt:

../../../../_images/3.1.1.D_1.png
\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{Px} \\ a_{Py} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} R \ddot \varphi \\ 0 \end{bmatrix} -R \left\{ \ddot\varphi \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} + \dot\varphi^2 \begin{bmatrix} 0\\ -1 \end{bmatrix} \right\} \\ &= -R \left\{ \dot\varphi^2 \begin{bmatrix} 0\\ -1 \end{bmatrix} \right\} \\ &= \begin{bmatrix} 0\\ R \dot\varphi^2 \end{bmatrix}\end{split}\]

Der Beschleunigungsvektor \(\boldsymbol a_P\) vom Teilchen P zeigt senkrecht nach oben zum Radmittelpunkt.

Zur Zeit \(t=1\,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{Px} \\ a_{Py} \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}9 \\ -1{,}1 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

# Header ends here.

half = S(1)/2

# symbols:
R, w, t = symbols("R, omega, t")

# quantities:
sub_list = [
    ( R, half   *m ),
    ( w, 2*pi/3 /s ),
    ( t, 1      *s ),
    ]

def phi(w,t):
    """phi = omega t"""
    return w * t

print("\nφ(1s):")
phi_1 = phi(w,t).subs(sub_list)
pprint(phi_1)

pprint("\n(xM, yM):")
xM = R*phi(w,t)
yM = R
rM = Matrix([xM, yM])
pprint(rM)

pprint("\n(xM, yM) / m:")
printout(rM, unit=m, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n(vMx, vMx):")
vM = diff(rM,t)
tmp = vM
pprint(tmp)

pprint("\n(vMx, vMx) / (m/s):")
printout(vM, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n(dx, dy):")
dx = - R * sin(w*t)
dy = - R * cos(w*t)
d = Matrix([dx, dy])
tmp = d
pprint(tmp)

pprint("\n(dx, dy) / m:")
printout(d, unit=m, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n(xP, yP):")
xP = xM + dx
yP = yM + dy
rP = Matrix([xP, yP])
tmp = rP
pprint(tmp)

pprint("\n(xP, yP) / m:")
printout(rP, unit=m, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n(vPx, vPy):")
vPx = diff(xP,t)
vPy = diff(yP,t)
vP = Matrix([vPx, vPy])
tmp = vP
pprint(tmp)

pprint("\n(vPx, vPy) / (m/s):")
printout(vP, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n(aPx, aPy):")
aPx = diff(vPx,t)
aPy = diff(vPy,t)
aP = Matrix([aPx, aPy])
tmp = aP
pprint(tmp)

pprint("\n(aPx, aPy) / (m/s²):")
printout(aP, unit=m/s**2, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.