3.1.1.E

Gegeben

Symbole:

\[\omega, l, v_r\]

Größen:

\[\begin{split}\omega &= 2 \pi \,\tfrac{1}{\mathrm s}\\ l &= 2 \,\mathrm m \\ v_r &= 1 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Eine rechteckige Scheibe dreht sich um den Ursprung O des \((x,y)\)-Systems.
Dabei bewegt sich ein Teilchen F auf der Kante AB.
Relativ zur Scheibe hat das Teilchen die Geschwindigkeit \(v_r\).
Zum Anfangs-Zeitpunkt \(t=0\, \mathrm s\) ist der Winkel \(\varphi=0\) und das Teilchen F ist bei A.

a) Position auf der Kante

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie \(d\), also die Position von F auf der Kante AB gemessen ab A, und gemessen in Richtung B. Und zwar zum Zeitpunkt \(t=0{,}5\, \mathrm s\):

\[d( 0{,}5 \, \mathrm s) = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}d(t) &=v_r t \\ d(0{,}5\, \mathrm s) &= 1\, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\, 0{,}5\, \mathrm s \\ &= 0{,}5 \, \mathrm m\end{split}\]

b) Position von F

Seien \((r_x, r_y)\) die \((x,y)\)-Komponenten des Ortsvektors zum Teilchen F. Berechnen Sie diese Komponenten:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:
- für \(t=0{,}5\, \mathrm s\):
\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -2 \\ - \tfrac 1 2 \\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]
- für \(t=1{,}0\, \mathrm s\):
\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\boldsymbol r &= l \boldsymbol e_r + d \boldsymbol e_\varphi \\ &= l \boldsymbol e_r + v_r t \boldsymbol e_\varphi\end{split}\]

Einsetzen der \((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol e_r\) und \(\boldsymbol e_\varphi\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{rx} \\ e_{ry} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{\omega t} \\ s_{\omega t} \end{bmatrix} \quad,\quad \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -s_{\omega t} \\ c_{\omega t} \end{bmatrix}\end{split}\]

liefert

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} &=l \begin{bmatrix} c_{\omega t} \\ s_{\omega t} \end{bmatrix} + v_r t \begin{bmatrix} - s_{\omega t} \\ c_{\omega t} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} l c_{\omega t} - v_r t s_{\omega t} \\ l s_{\omega t} + v_r t c_{\omega t} \end{bmatrix}\end{split}\]

Einsetzen der Größen liefert die Behauptung.

c) Geschwindigkeit von F

Seien \((v_x, v_y)\) die \((x,y)\)-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors von F. Berechnen Sie diese Komponenten:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass
- für \(t=0{,}5\, \mathrm s\):
  
  \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 3{,}14 \\ -13{,}57 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]
- für \(t=1{,}0\, \mathrm s\):
  
  \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} - 6{,}28 \\ 13{,}57 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Lösung

Zeitableitung der Komponenten des Ortsvektors:

\begin{align} \label{eq-3.1.1.E-1} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot{r_x} \\ \dot{r_y} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - l\omega s_{\omega t} -v_r s_{\omega t} - v_r t \omega c_{\omega t} \\ l\omega c_{\omega t} + v_r c_{\omega t} - v_r t \omega s_{\omega t} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -(l\omega + v_r) s_{\omega t} - v_r \omega t c_{\omega t} \\ (l\omega + v_r) c_{\omega t} - v_r \omega t s_{\omega t} \end{bmatrix} \tag{1} \end{align}

Einsetzen der Größen liefert:

für \(t=0{,}5\, \mathrm s\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \pi \\ -4 \pi - 1 \\ \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 3{,}14 \\ -13{,}57 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]
für \(t=1{,}0\, \mathrm s\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - 2 \pi \\ 4 \pi + 1 \\ \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} - 6{,}28 \\ 13{,}57 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

d) Betrag des Geschwindigkeitsvektors

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie den Betrag des Geschwindigkeitsvektors. Zeigen Sie, dass:

für \(t=0{,}5\, \mathrm s\):

\[\lVert\boldsymbol v \rVert \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 13{,}93 \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]
für \(t=1{,}0\, \mathrm s\):

\[\lVert\boldsymbol v \rVert \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 14{,}95 \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

Lösung

Für \(t=0{,}5\, \mathrm s\):

\[\begin{split}\lVert\boldsymbol v \rVert &= \sqrt{ \pi^2 + (1 + 4\pi)^2 } \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 13{,}93 \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]
Für \(t=1{,}0\, \mathrm s\):

\[\begin{split}\lVert\boldsymbol v \rVert &= \sqrt{20 \pi^2 + 8 \pi + 1} \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 14{,}95 \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff, atan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

w, l, v, t = symbols("omega, l, vᵣ, t")

prec = 2

sub_list = [
    ( w, 2     *pi/s ),
    ( l, 2     *m    ),
    ( v, 1     *m/s  ),
    ]

case = "t = 0.5 s"
# case = "t = 1.0 s"

if case == "t = 0.5 s":
    sub_list.append(( t, half *s ))
elif case == "t = 1.0 s":
    sub_list.append(( t, 1 *s ))

p = w*t
cp, sp = cos(p), sin(p)
er = Matrix([cp, sp])
ep = Matrix([-sp, cp])

pprint(case)

pprint("\nr:")
r = l*er + v*t*ep
printout(r, unit=1, prec="nil", sub_list=[])
pprint("\nr / m:")
printout(r, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nv:")
v = diff(r, t)
# tmp = 2*atan(v[1]/(v.norm()+v[0]))
printout(v, unit=1, prec="nil", sub_list=[])
pprint("\nv / (m/s):")
printout(v, unit=m/s, prec="nil", sub_list=sub_list)
printout(v, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\n|v| / (m/s):")
v = v.norm()
printout(v, unit=m/s, prec="nil", sub_list=sub_list)
printout(v, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.