Tags: Web-App

3.1.1.G

Gegeben

• Punktmasse \(m\) bewegt sich auf einer Geraden.

• \(t\): Die Zeit, im Intervall \(0\,\mathrm{s} \le t \le 6 \,\mathrm{s}\).

• \(x(t),v(t), a(t)\): Die Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Punktmasse.

• \(x_0\): Die Position der Punktmasse zur Zeit \(t=0\,\mathrm{s}\).

a) Geschwindigkeit

Sei die Geschwindigkeit:

\[v(t) = \left\{ 2 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)^2 - 10\left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right) + 5 \right\} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Berechnen Sie die Geschwindigkeit für \(t=2{,}5 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass

\[v(2{,}5 \,\mathrm{s}) = -7{,}5 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Lösung

\[\begin{split}v(2{,}5 \,\mathrm{s}) &= \left\{ 2 \left( \tfrac{2{,}5\,\mathrm{s}}{\mathrm{s}} \right)^2 - 10\left( \tfrac{2{,}5\,\mathrm{s}}{\mathrm{s}} \right) + 5 \right\} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &= \big\{ 12{,}5 - 25 + 5 \big\} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &= -7{,}5 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

b) Beschleunigung

Berechnen Sie die Beschleunigung \(a\). Zeigen Sie, dass:

\[a(t)= \left\{ 4 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right) - 10 \right\} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\]

Lösung

\[\begin{split}a(t)&= \tfrac{{\mathsf d}\,}{{\mathsf d}\,t}v(t)\\ &= \left\{ 2 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)^2 - 10\left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right) + 5 \right\} \!\dot{\vphantom{\Large X}} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &= \left\{ 4 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)^1 - 10 \right\} \tfrac{\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{\mathrm{s}} \\ &= \left\{ 4 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right) - 10 \right\} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

c) Position

Berechnen Sie die Position \(x(t)\) für die Anfangsbedingung \(x(t=0\,\mathrm{s}) = x_0\). Zeigen Sie, dass:

\[x(t) = x_0 + \left\{ \tfrac 2 3 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)^3 - 5 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)^2 + 5 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right) \right\} \,\mathrm{m}\]

Lösung

Integration zwischen Anfangszeit \(0\,\mathrm{s}\) und einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) liefert:

\[\begin{split}x(t) - x(0\,\mathrm{s}) &= \int_{\tilde t=0\,\mathrm{s}}^{t} v(\tilde t)\, d\tilde t \\ x(t) - x_0 &= \int_{\tilde t=0\,\mathrm{s}}^{t} \left\{ 2 \left( \tfrac{\tilde t}{\mathrm{s}} \right)^2 - 10\left( \tfrac{\tilde t}{\mathrm{s}} \right) + 5 \right\} \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \, d\tilde t \\ &= \left[ \tfrac 2 3 \left( \tfrac{\tilde t}{\mathrm{s}} \right)^3 - \tfrac 1 2 10\left( \tfrac{\tilde t}{\mathrm{s}} \right)^2 + 5 \left( \tfrac{\tilde t}{\mathrm{s}} \right) \right]_{\tilde t=0\,\mathrm{s}}^{t} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{s} \\ &= \left\{ \tfrac 2 3 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)^3 - 5 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)^2 + 5 \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right) \right\} \,\mathrm{m}\end{split}\]

d) Geschwindigkeit, Beschleunigung, Position

Füllen Sie folgende Tabelle aus. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Verwenden Sie \(x_0 = 3\,\mathrm{m}.\)

\(t\)	\(v \,/ \,(\mathrm{m} \,/\, \mathrm{s})\)	\(a \,/ \,(\mathrm{m} \,/\, \mathrm{s}^2)\)	\(x \,/ \mathrm{m}\)
\(0\,\mathrm{s}\)	\(5\)
\(2{,}5\,\mathrm{s}\)
\(6\,\mathrm{s}\)

Lösung

\(t\)	\(v \,/ \,(\mathrm{m} \,/\, \mathrm{s})\)	\(a \,/ \,(\mathrm{m} \,/\, \mathrm{s}^2)\)	\(x \,/ \mathrm{m}\)
\(0\,\mathrm{s}\)	\(5\)	\(-10\)	\(3\)
\(2{,}5\,\mathrm{s}\)	\(-7{,}5\)	\(0\)	\(-5{,}33\)
\(6\,\mathrm{s}\)	\(17\)	\(14\)	\(-3\)

e) Funktionsgraphen

Zeichnen Sie für das Zeit-Intervall \(0 \,\mathrm{s} \le t \le 6 \,\mathrm{s}\) die Graphen folgender Funktionen:

• \(v \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\): Geschwindigkeit in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) (Meter pro Sekunde).

• \(a \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\): Beschleunigung in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) (Meter pro Quadratsekunde).

• \(x \, / \, \mathrm{m}\): Position in \(\mathrm{m}\) (Meter) für die Anfangsposition \(x_0 = 3\, \mathrm{m}\).

Lösung

Mit der Definition \(\xi = \left( \tfrac{t}{\mathrm{s}} \right)\) gilt:

• Geschwindigkeit:

  \[v\,/\, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 2 \xi^2 - 10\xi + 5\]

• Beschleunigung:

  \[a \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 4 \xi - 10\]

• Position für Anfangsposition \(x_0 = 3\, \mathrm{m}\):

  \[\begin{split}x \, / \, \mathrm{m} &= \tfrac 2 3 \xi^3 - 5 \xi^2 + 5 \xi + \tfrac{x_0}{\mathrm{m}} \\ &= \tfrac 2 3 \xi^3 - 5 \xi^2 + 5 \xi + 3\end{split}\]

Details

• Die Geschwindigkeit \(v\) ist positiv, dann negativ, dann wieder positiv. D.h. die Masse bewegt sich zuerst nach rechts, dann nach links und dann wieder nach rechts.

• Die Position \(x\) ist zuerst positiv - und dann negativ. D.h. die Masse befindet sich zuerst rechts vom Nullpunkt \(x=0\) - und danach links davon.

• In den Momenten (Zeitpunkten), an dem die Geschwindigkeit \(v\) gleich null ist, nimmt die Position \(x\) Extremwerte an. (\(v\) ist die Ableitung von \(x\).)

• In den Momenten (Zeitpunkten), an dem die Beschleunigung \(a\) gleich null ist, nimmt die Geschwindigkeit \(v\) Extremwerte an. (\(a\) ist die Ableitung von \(v\).)