3.1.1.I
Gegeben
Bokeh Plot
Ein Teilchen bewegt sich auf einer Geraden.
\(x \, / \, \mathrm{mm}\) ist die Position des Teilchens in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter).
\(v \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) ist die Geschwindigkeit des Teilchens in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) (Meter pro Sekunde). Und für \(x=40\,\mathrm{mm}\) gilt:
\[v(x=40\,\mathrm{mm}) = 0{,}4\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]
\(a \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) ist die Beschleunigung des Teilchens in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) (Meter pro Quadratsekunde). Und die Beschleunigung ist gegeben über den Funktionsgraph .
Untersuchen Sie die Bewegung. Gehen Sie wie folgt vor.
a) Funktionsgraph
Zeigen Sie, dass der Funktionsgraph der Graph folgender Funktion ist:
\[a \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} =
2 + \tfrac{\left( \tfrac{x}{\mathrm{mm}} \right) - 40}{40}\]
Lösung
Da die gezeigte Funktion linear in \(x\) ist, genügt es, zwei Positionen \(x\) zu testen:
\[\begin{split}a(40\,\mathrm{mm})
&=
\left\{
2 + \tfrac{40 - 40}{40}
\right\}
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\
&=
2
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\\
a(120\,\mathrm{mm})
&=
\left\{
2 + \tfrac{120 - 40}{40}
\right\}
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\
&=
4
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]
b) Geschwindigkeiten
Verwenden Sie folgende Abkürzungen / Definitionen:
\[\begin{split}v_{40} &= v(40\,\mathrm{mm}) = 0{,}4 \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
v_{80} &= v(80\,\mathrm{mm}) \\
v_{120} &= v(120\,\mathrm{mm}) \\\end{split}\]
und:
\[\begin{split}a&=\tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x}\tfrac{{\mathsf d}\,x}{{\mathsf d}\,t}\\
a\, {\mathsf d}x &= v\, {\mathsf d}v \\
\int_{x=40\,\mathrm{mm}}^{80\,\mathrm{mm}} a\, {\mathsf d}x
&= \int_{\tilde v = v_{40}}^{v_{80}} \tilde v \, {\mathsf d} \tilde v \\
&= \tfrac12 v_{80}^2 - \tfrac12 v_{40}^2\end{split}\]
um zu zeigen, dass:
\[v_{80} = 0{,}6 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]
Zeigen Sie ebenso, dass:
\[v_{120} = 0{,}8 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]
Hinweis
Das Integral auf der linken Seite ist gleich der „Fläche“ zwischen \(x\) -Achse und dem Graph der Funktion \(a(x).\)
Lösung
\[\begin{split}\int_{x=40\,\mathrm{mm}}^{80\,\mathrm{mm}} a\, {\mathsf d}x
&= \tfrac12 v_{80}^2 - \tfrac12 v_{40}^2 \\
A_1 + A_2 &= \tfrac12 v_{80}^2 - \tfrac12 v_{40}^2
\\
40\,\mathrm{mm} \times \left( 2 + \tfrac12 \times (3 - 2 )\right)\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
&=
\tfrac12 v_{80}^2 - \tfrac12 v_{40}^2\end{split}\]
Eine einfache Nebenrechnung \(v_{40} = 0{,}4 \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) führt auf:
\[v_{80}
=
0{,}6 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]
Dasselbe Verfahren mit anderer „Breite“ für \(v_{120}\) führt auf:
\[v_{120} = 0{,}8 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]
c) Geschwindigkeit: Funktion
Verwenden Sie folgende Gleichung mit Integralen mit variabler Obergrenze:
\[\int_{\tilde x=40\,\mathrm{mm}}^x a \, {\mathsf d}\tilde x = \int_{\tilde v = v_{40}}^{v(x)} \tilde v \, {\mathsf d} \tilde v\]
um zu zeigen, dass:
\begin{align} \label{eq-3.1.1.I-1}
v
=
\tfrac{1}{200}
\left\{
\left( \tfrac{x}{\mathrm{mm}} \right) + 40
\right\}
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\end{align}
Hinweis
Auch hier ist das Integral auf der linken Seite gleich einer „Fläche“.
Lösung
\[\begin{split}\int_{\tilde x = 40\,\mathrm{mm}}^{x} a \, {\mathsf d}\tilde x
&=
\int_{\tilde v = v(40\,\mathrm{mm})}^{v(x)} \tilde v \, {\mathsf d}\tilde v
\\
\int_{\tilde x = 40\,\mathrm{mm}}^{x}
\left\{
2 + \tfrac{\left( \tfrac{\tilde x}{\mathrm{mm}} \right) - 40}{40}
\right\}
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\, {\mathsf d}\tilde x
&= \tfrac12 v^2 - \tfrac12 v_{40}^2
\\
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \, \int_{\tilde x = 40\,\mathrm{mm}}^{x}
\left\{
1 + \tfrac{1}{40\,\mathrm{mm}} \tilde x
\right\}
\, {\mathsf d}\tilde x
&=
\tfrac12 v^2 - \tfrac12 \left( 0{,}4 \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\\
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \,
\left[
\tilde x + \tfrac{1}{80\,\mathrm{mm}} \left.\tilde x\right.^2
\right]_{40\,\mathrm{mm}}^{x}
&=
\tfrac12 v^2 - 0{,}08 \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\\
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \,
\left(
x + \tfrac{1}{80\,\mathrm{mm}}x^2
-
{40\,\mathrm{mm}} - \tfrac{1}{80\,\mathrm{mm}} \left({40\,\mathrm{mm}}\right)^2
\right)
&=
\tfrac12 v^2 - 0{,}08 \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\\
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \, \mathrm{mm}\,
\left(
\tfrac{x}{\mathrm{mm}} + \tfrac{1}{80\,\mathrm{mm}^2}x^2
-
{40} - \tfrac{1}{80} 40^2
\right)
&=
\tfrac12 v^2 - 0{,}08 \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2\end{split}\]
Mit der Abkürzung \(\xi = \tfrac{x}{\mathrm{mm}}\) :
\[\begin{split}\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \, \mathrm{mm}\,
\left(
\xi + \tfrac{1}{80} \xi^2
-
{40} - \tfrac{1}{2} 40
\right)
&=
\tfrac12 v^2 - 0{,}08 \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\\
10^{-3} \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\left(
\xi + \tfrac{1}{80} \xi^2
- 60
\right)
+ 0{,}08
\left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
&=
\tfrac12 v^2
\\
10^{-3} \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\left(
\xi + \tfrac{1}{80} \xi^2
- 60 + 80
\right)
&=
\tfrac12 v^2
\\
10^{-3} \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\left(
2\xi + \tfrac{1}{40} \xi^2
+40
\right)
&=
v^2
\\
\tfrac{1}{40000} \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\left(
80 \xi + \xi^2
+40 \cdot 40
\right)
&=
v^2
\\
\tfrac{1}{200\cdot 200} \left(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right)^2
\left( \xi + 40 \right)^2
&=
v^2\end{split}\]
Und damit:
\[\begin{split}v
&=
\tfrac{1}{200}
\left(
\xi + 40
\right)
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\\
&=
\tfrac{1}{200}
\left(
\left( \tfrac{x}{\mathrm{mm}} \right) + 40
\right)
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]
Lösung mit Fläche unter Funktionsgraph
\[\begin{split}A_1 + A_2 &= \tfrac12 v^2 - \tfrac12 v_{40}^2 \\
\mathrm{mm} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\left(
\xi - 40
\right)\left\{
2 + \tfrac12 \tfrac{\xi - 40}{40}
\right\}
&= \tfrac12 v^2 - \tfrac12 v_{40}^2\end{split}\]
Eine einfache Nebenrechnung
\[v
=
\tfrac{1}{200}
\left(
\left( \tfrac{x}{\mathrm{mm}} \right) + 40
\right)
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]
d) Funktionsgraph
Zeichnen Sie die Geschwindigkeit \(v\) in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) (Meter pro Sekunde) über \(40 \le \tfrac{x}{\mathrm{mm}} \le 120\) .
Lösung
Nebenrechnungen
Für b) Geschwindigkeiten
\[\begin{split}40\,\mathrm{mm} \times \left( 2 + \tfrac12 \times (3 - 2 )\right)\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
&=
\tfrac12 v_{80}^2 - \tfrac12 v_{40}^2
\\
(80 + 20) \,\mathrm{mm} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
&=
\tfrac12 v_{80}^2 - \tfrac12 v_{40}^2
\\
0{,}1 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
&=
\tfrac12 v_{80}^2 - \tfrac12 v_{40}^2
\\
0{,}2 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
&=
v_{80}^2 - v_{40}^2
\\
0{,}2 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
&=
v_{80}^2 - 0{,}16 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
\\
0{,}36 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
&=
v_{80}^2
\\
v_{80}
&=
0{,}6 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]
Dasselbe mit anderen Breite für \(v_{120}\) :
\[\begin{split}80\,\mathrm{mm} \times 2\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} + \tfrac12 \times 80\,\mathrm{mm} \times (4 - 2 )\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac12 v_{120}^2 - \tfrac12 v_{40}^2 \\
\tfrac32 \times 80\,\mathrm{mm} \times 2\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac12 v_{120}^2 - \tfrac12 v_{40}^2 \\
\tfrac62 \times 80 \times 10^{-3}\, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac12 v_{120}^2 - \tfrac12 v_{40}^2 \\
240 \times 10^{-3}\, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac12 v_{120}^2 - \tfrac12 v_{40}^2 \\
0{,}240\, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac12 v_{120}^2 - \tfrac12 0{,}4^2 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} \\
0{,}32 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
&= \tfrac12 v_{120}^2 \\
0{,}64 \, \tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
&= v_{120}^2 \\
v_{120}
&=
0{,}8\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]
Für Lösung mit Flächen
\[\begin{split}A_1 + A_2 &= \tfrac12 v^2 - \tfrac12 v_{40}^2 \\
\mathrm{mm} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\left(
\xi - 40
\right)\left\{
2 + \tfrac12 \tfrac{\xi - 40}{40}
\right\}
&= \tfrac12 v^2 - \tfrac12 v_{40}^2
\\
\mathrm{mm} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\left( \xi - 40 \right)
\tfrac{120 + \xi}{80}
&= \tfrac12 v^2 - \tfrac12 v_{40}^2
\\
\mathrm{mm} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\left( \xi - 40 \right)
\tfrac{120 + \xi}{40}
&= v^2 - v_{40}^2
\\
\mathrm{mm} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\tfrac{\xi^2 + 80\xi -4800}{40}
&= v^2 - v_{40}^2
\\
\tfrac{1}{40000}
\left\{
\xi^2 + 80\xi -4800
\right\}
\tfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}
&= v^2 - v_{40}^2\end{split}\]
Das ist äquivalent zur vorherigen Ergebnis.
