3.1.1.J
Gegeben
Bokeh Plot
\(t\) ist die Zeit.
\(x, v, a\) sind Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens.
\(x(t = 0\,\mathrm{s})= 0 \, \mathrm{m}\) ist die gegebene Anfangsposition des Teilchens.
Im Intervall \(0\,\mathrm{m} \le x < 30 \,\mathrm{m}\) ist \(v\) gegeben.
a) Geschwindigkeit
Zeigen Sie, dass der Funktionsgraph der Graph folgender Funktion ist:
\[v
=
\left\{
-\tfrac23 \left( \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right)+20
\right\}
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]
Lösung
Da die gezeigte Funktion linear in \(x\) ist, genügt es, zwei Positionen \(x\) zu testen:
\[\begin{split}v(0\,\mathrm{m})
&=
\left\{
-\tfrac23 \left( \tfrac{0\,\mathrm{m}}{\mathrm{m}} \right)+20
\right\}
\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\\
&= 20\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\\
\\
v(15\,\mathrm{m})
&=
\left\{
-\tfrac23 \left( \tfrac{15\,\mathrm{m}}{\mathrm{m}} \right)+20
\right\}
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\\
&= 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]
b) Beschleunigung
Verwenden Sie die Kettenregel
\[\begin{split}a&=\tfrac{{\mathsf d}\,v(x(t))}{{\mathsf d}\,t}\\
&=\tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x}\tfrac{{\mathsf d}\,x}{{\mathsf d}\,t} \\
&=\tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x} v \\
&=v \tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x}\end{split}\]
um zu zeigen, dass:
\[a
=
\left\{
\tfrac49\left( \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right)-\tfrac{40}{3}
\right\}
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\]
Lösung
Die gegebene Geschwindigkeit ist gegeben als \(v(x(t))\) . Also abhängig von \(x\) . Und \(x\) selbst ist abhängig von \(t\) , sodass die Kettenregel
\[\begin{split}a&=\tfrac{{\mathsf d}\,v(x(t))}{{\mathsf d}\,t}\\
&=\tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x}\tfrac{{\mathsf d}\,x}{{\mathsf d}\,t}\end{split}\]
Die Funktion \(x(t)\) ist zwar nicht gegeben, aber es gilt \(\tfrac{{\mathsf d}\,x}{{\mathsf d}\,t}=v\) , sodass:
\[\begin{split}a&=\tfrac{{\mathsf d}\,v(x(t))}{{\mathsf d}\,t}\\
&=\tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x}v \\
&= v \cdot \tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x} \\
&= v \cdot \tfrac{{\mathsf d}\,}{{\mathsf d}\,x} \left\{ \left\{ -\tfrac23 \left( \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right)+20 \right\} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right\} \\
&= - v\cdot \tfrac23 \,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\\end{split}\]
Einsetzen von \(v\) liefert:
\[a=\left \{ \tfrac49
\left( \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right) - \tfrac{40}{3}
\right \}
\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\]
c) Zeit t abhängig von Position x
Verwenden Sie:
\[\begin{split}v&=\tfrac{{\mathsf d}\,x}{{\mathsf d}\,t}\\
{\mathsf d}\,t &=\tfrac{1}{v}\, {\mathsf d}\,x\end{split}\]
und die Integration:
\[\int_{\tilde t=0\,\mathrm{s}}^{t} {\mathsf d}\, \tilde t
=
\int_{\tilde x = x (0\,\mathrm{s})}^{x(t)} \tfrac 1 v \, {\mathsf d}\,\tilde x\]
Berechnen damit Sie die Zeit in \(\mathrm{s}\) (Sekunden) abhängig von der Position \(x\) . Zeigen Sie, dass:
\[t = - \tfrac32 \ln \tfrac{-\tfrac23 \left( \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right) + 20}{20} \, \mathrm{s}\]
Berechnen Sie:
den Zeitpunkt \(t_1\) , bei dem das Teilchen die Position \(x=29{,}998\,\mathrm{m}\) hat
den Zeitpunkt \(t_2\) , bei dem das Teilchen die Position \(x=29{,}999\,\mathrm{m}\) hat
die Position \(x_{15}\) , bei der das Teilchen ist zum Zeitpunkt \(t=15\,\mathrm{s}\)
Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}0001\) . Zeigen Sie, dass:
\[\begin{split}t_1 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 14{,}4237\, \mathrm{s} \\
t_2 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 15{,}4634\, \mathrm{s} \\
x_{15} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 29{,}9986 \, \mathrm{m}\end{split}\]
Lösung
Einsetzen in die eingerahmte Formel liefert:
\[\begin{split}t_1 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 14{,}4237\, \mathrm{s} \\
t_2 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 15{,}4634\, \mathrm{s} \\
x_{15} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 29{,}9986 \, \mathrm{m}\end{split}\]
d) Funktionsgraphen
Zeichnen Sie die Funktionsgraphen folgender Funktionen über \(0 \le \tfrac{x}{\mathrm{m}} < 30\) :
\(a \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) : Beschleunigung in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) (Meter pro Quadratsekunde).
\(t \, / \, \mathrm{s}\) : Zeit in \(\mathrm{s}\) (Sekunde).
Lösung
e) Beweis
Die Geschwindigkeit \(v\) ist vorgegeben als Funktion, die linear ist in \(x\) . Und auch die daraus berechnete Beschleunigung \(a\) ist linear in \(x\) . Zeigen Sie, warum \(a\) für beliebiges lineares \(v\) ebenfalls linear ist.
Lösung
