3.1.1.K

Gegeben

../../../../_images/3.1.1.K.png

Symbole:

\[R, \omega \qquad \varphi(t)=\omega t\]

Größen:

\[\begin{split}R &= 1\, \mathrm{m}\\ \omega &= \tfrac{2\pi}{\mathrm{s}} \\ \\ \varphi(t)&=\omega t\end{split}\]

  • Ein Teilchen P bewegt sich auf einer Kreisbahn.

  • Die Winkelposition \(\varphi\) bestimmt die Position von P.

  • die Winkelgeschwindigkeit \(\omega = \dot\varphi\) ist zeitlich konstant.

  • Dargestellt ist die Position für \(\varphi=60^\circ\).

a) Position von P

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Koordinaten des Teilchens P - also die \((x,y)\)-Komponenten \((r_x, r_y)\) des Ortsvektors \(\boldsymbol r\) zu P.

  • allgemein abhängig von der Position des Teilchens, also abhängig von \(\varphi\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

  • für die dargestellte Position und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}50 \\ 0{,}87 \end{bmatrix} \, \mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

  • abhängig von der Position des Teilchens, also abhängig von \(\varphi\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} c_{\varphi} \\ s_{\varphi} \end{bmatrix}\end{split}\]

  • für die dargestellte Position mit \(\varphi=60^\circ\) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} &= 1 \, \mathrm{m} \begin{bmatrix} c_{60^\circ} \\ s_{60^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac12 \\ \tfrac12 \sqrt 3 \end{bmatrix} \, \mathrm{m} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}50 \\ 0{,}87 \end{bmatrix} \, \mathrm{m}\end{split}\]

b) Basisvektoren

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Polarkoordinaten-Basisvektoren \(\boldsymbol e_r\) und \(\boldsymbol e_\varphi\), und zwar:

  • für die gegebenen Symbole, also abhängig von \(\varphi:\)

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{r x} \\ e_{r y} \end{bmatrix} &= \dots \\ \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} &= \dots\end{split}\]

  • für die gegebenen Größen, und zwar die dargestellte Position bei \(\varphi = 60^\circ\) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{r x} \\ e_{r y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}50 \\ 0{,}87 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} - 0{,}87 \\ 0{,}50 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

  • abhängig von \(\varphi\):

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{r x} \\ e_{r y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - s_\varphi \\ c_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

  • für \(\varphi=60^\circ\) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{r x} \\ e_{r y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{60^\circ} \\ s_{60^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{1}{2}\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}50 \\ 0{,}87 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - s_{60^\circ} \\ c_{60^\circ} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} - 0{,}87 \\ 0{,}50 \end{bmatrix}\end{split}\]

c) Zeitableitung der Basisvektoren

Die Polarkoordinaten-Basisvektoren sind zeitabhängig, weil P zu jeder Zeit eine andere Position hat und weil die Basisvektoren bei P verwendet werden. Zeigen Sie, dass

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{r x} \\ e_{r y} \end{bmatrix} \!\dot{\vphantom{\Large X}} &= \dot\varphi \begin{bmatrix} - s_\varphi \\ c_\varphi \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} \!\dot{\vphantom{\Large X}} &= - \dot\varphi \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{r x} \\ e_{r y} \end{bmatrix} \!\dot{\vphantom{\Large X}} &= \begin{bmatrix} \dot{e_{r x}} \\ \dot{e_{r y}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dot{c_\varphi} \\ \dot{s_\varphi} \end{bmatrix} \\ &= \dot\varphi \begin{bmatrix} - s_\varphi \\ c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \dot\varphi \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{\varphi x} \\ e_{\varphi y} \end{bmatrix} \!\dot{\vphantom{\Large X}} &= \begin{bmatrix} \dot{e_{\varphi x}} \\ \dot{e_{\varphi y}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \dot{s_\varphi} \\ \dot{c_\varphi} \end{bmatrix} \\ &= - \dot\varphi \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix} \\ &= - \dot\varphi \begin{bmatrix} e_{r x} \\ e_{r y} \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Auffällig ist, dass:

  • die Zeitableitung von \(\boldsymbol e_r\) senkrecht auf \(\boldsymbol e_r\) steht:

    \[\dot{ \boldsymbol e_r } = \dot\varphi \boldsymbol e_\varphi \perp \boldsymbol e_r\]

  • die Zeitableitung von \(\boldsymbol e_\varphi\) senkrecht auf \(\boldsymbol e_\varphi\) steht:

    \[\dot{ \boldsymbol e_\varphi } = -\dot\varphi \boldsymbol e_r \perp \boldsymbol e_\varphi\]

Die Zeitableitung jedes Einheitsvektors ist senkrecht zum Einheitsvektor selbst, wie hier gezeigt.

d) Geschwindigkeit und Beschleunigung

Berechnen Sie:

  • die \((x,y)\)-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors \(\boldsymbol v\) des Teilchens auf der Kreisbahn.

  • die \((x,y)\)-Komponenten des Beschleunigungsvektors \(\boldsymbol a\) des Teilchens auf der Kreisbahn.

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= R \dot\varphi \begin{bmatrix} - s_\varphi \\ c_\varphi \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix} &= -R \dot\varphi^2 \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Die Komponenten der Zeitableitung eines Vektors ist gleich der Ableitung der kartesischen Komponenten des Vektors:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= R \begin{bmatrix} c_{\varphi} \\ s_{\varphi} \end{bmatrix} \!\dot{\vphantom{\Large X}} \\ &= R \dot\varphi \begin{bmatrix} - s_\varphi \\ c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= R \begin{bmatrix} - \dot\varphi s_\varphi \\ \dot\varphi c_\varphi \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix} &= R \begin{bmatrix} - \dot\varphi s_\varphi \\ \dot\varphi c_\varphi \end{bmatrix} \!\dot{\vphantom{\Large X}} \\ &= -R \dot\varphi^2 \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Alternativ: Berechnung vektoriell mit Polarkoordinaten-Basisvektoren \(\left(\boldsymbol e_r, \boldsymbol e_\varphi\right)\) mit Ortsvektor \(\boldsymbol r\), Geschwindigkeit \(\boldsymbol v\) und Beschleunigung \(\boldsymbol a\):

\[\begin{split}\boldsymbol v &= \dot{\boldsymbol r} \\ &= \big{\{} R \boldsymbol e_r \big{\}} \!\dot{\vphantom{\large X}} \\ &= R \dot{ \boldsymbol e_r } \\ &= R \dot\varphi \boldsymbol e_\varphi \\ \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= R \dot\varphi \begin{bmatrix} - s_\varphi \\ c_\varphi \end{bmatrix} \\ \\ \boldsymbol a &= \dot{\boldsymbol v} \\ &= \big{\{} R \dot\varphi \boldsymbol e_\varphi \big{\}} \!\dot{\vphantom{\large X}} \\ &= R \left\{ \ddot\varphi \boldsymbol e_\varphi - \dot\varphi^2 \boldsymbol e_r \right\} \\ &= - R \dot\varphi^2 \boldsymbol e_r \\ \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix} &= -R \dot\varphi^2 \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

e) Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Es geht um:

  • Ortsvektor \(\boldsymbol r\)

  • Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol v\)

  • Beschleunigungsvektor \(\boldsymbol a\)

Berechnen Sie:

  • die \((x,y)\)-Komponenten dieser Vektoren für die zwei Zeitpunkte \(t_1\) und \(t_2\) und

  • die \((r,\varphi)\)-Komponenten für dieselben Zeitpunkte.

Zeigen Sie, dass für:

\begin{align*} t_1 &= \tfrac16 \, \mathrm{s} & \qquad t_2 &= \tfrac12 \, \mathrm{s} \\ \varphi &= 60 ^\circ & \qquad \varphi &= 180 ^\circ \end{align*}

die \((x,y)\)-Komponenten sind:

\begin{align*} \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}50\\ 0{,}87 \end{bmatrix} \,\mathrm{m} &\qquad \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -1{,}00\\ 0{,}00 \end{bmatrix} \,\mathrm{m} \\ \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -5{,}44\\ 3{,}14 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} &\qquad \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}00\\ -6{,}28 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -19{,}74\\ -34{,}19 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} &\qquad \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 39{,}48\\ 0{,}00 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{align*}

die \((r,\varphi)\)-Komponenten sind:

\begin{align*} \begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}00\\ 0{,}00 \end{bmatrix} \,\mathrm{m} &\qquad \begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}00\\ 0{,}00 \end{bmatrix} \,\mathrm{m} \\ \begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}00\\ 6{,}28 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} &\qquad \begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}00\\ 6{,}28 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ \begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -39{,}48\\ 0{,}00 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} &\qquad \begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -39{,}48\\ 0{,}00 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{align*}

Hinweis

\[\begin{split}\boldsymbol r &= r_r \boldsymbol e_r + r_\varphi \boldsymbol e_\varphi \\ \boldsymbol v &= v_r \boldsymbol e_r + v_\varphi \boldsymbol e_\varphi \\ \boldsymbol a &= a_r \boldsymbol e_r + a_\varphi \boldsymbol e_\varphi\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen liefert die Behauptung.

f) Geschwindigkeit und Beschleunigung

Sei:

  • \(v\): Betrag des (zeitlich konstanten) Geschwindigkeitsvektors.

  • \(a\): Betrag des (zeitlich konstanten) Beschleunigungsvektors.

Berechnen Sie \(v\) und \(a\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}v &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}28\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ a &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 39{,}48 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Zeichnen Sie Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor für \(t_1\) und \(t_2\).

Lösung

Beträge von Geschwindigkeit und Beschleunigung:

\[\begin{split}v &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\ &= \sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2} \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}28\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ a &= \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \\ &= \sqrt{a_r^2 + a_\varphi^2} \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 39{,}48 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren für \(t_1\) und \(t_2\):

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SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec = 2

R, w, t = symbols("R, omega, t")
p = w * t
cp = cos(p)
sp = sin(p)

er = Matrix([ cp,sp])
ep = Matrix([-sp,cp])

# Position vector:
rC = R * er
rP = R * Matrix([1,0])

# Velocity:
vC = R*w * ep
vP = R*w * Matrix([0,1])

# Acceleration:
aC = -R*w**2 * er
aP = -R*w**2 * Matrix([1,0])

sub_list = [
    (R, 1 *m),
    (w, 2 *pi / s),
    ]

case = "t1"
case = "t2"

if case == "t1":
    sub_list.append( (t, S(1)/6 *s) )
elif case == "t2":
    sub_list.append( (t, S(3)/6 *s) )
else:
    pprint("Exiting.")
    exit()

pprint("\nφ / deg:")
printout(p, unit=deg, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\ner:")
printout(er, unit=1, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nep:")
printout(ep, unit=1, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\n(x,y)-Components:")
pprint("\nr / m:")
printout(rC, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nv / (m/s):")
printout(vC, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\na / (m/s²):")
printout(aC, unit=m/s**2, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\n(r,φ)-Components:")
pprint("\nr / m:")
printout(rP, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nv / (m/s):")
printout(vP, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\na / (m/s²):")
printout(aP, unit=m/s**2, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.