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3.1.1.L

Gegeben

Symbol & Definitionsbereich & Einheit & Bedeutung
\(t\)	\(t \ge t_0\)	\(\mathrm{s}\)	Zeit
\(x\)	\(x\ge x_0\)	\(\mathrm{m}\)	Position
\(v=c x^2\)	\(v\ge 0\)	\(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm s}\)	Geschwindigkeit

Gegebene Parameter

Parameter & Teilchen 1 & Teilchen 2 & Bedeutung
\(t_0\)	\(0\, \mathrm{s}\)	\(2\, \mathrm{s}\)	Anfangszeitpunkt
\(x_0=x(t_0)\)	\(2 \,\mathrm m\)	\(2 \,\mathrm m\)	Anfangsposition
\(c\)	\(\tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s}\)	\(\tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s}\)	Konstante

Zwei Teilchen bewegen sich auf einer Geraden.

a) t(x) allgemein

• Ab dem Zeitpunkt \(t=t_0\) verstreicht die Zeit \(t\). D.h. \(t\) wächst.

• Die Position \(x\) der Teilchen ändert sich (während Zeit verstreicht) abhängig von der Teilchen-Geschwindigkeit \(v\).

Zeigen Sie, dass:

\begin{equation} \label{eq-3.1.1.L-1} t(x) = t_0 + \tfrac{1}{c x_{0}} - \tfrac{1}{c x}\tag{1} \end{equation}

Lösung

Es gilt

\[\begin{split}{\mathsf d}t &= \tfrac{1}{v}{\mathsf d}x \\ \int_{\tilde t = t_0}^t {\mathsf d}\tilde t &= \int_{\tilde x=x_0}^x\tfrac{1}{v}{\mathsf d} \tilde x\end{split}\]

Ausführen der Integration links und Einsetzen von \(v=c \tilde x^2\) rechts liefert:

\[\begin{split}t - t_0 &= \int_{\tilde x=x_0}^x\tfrac{1}{c \tilde x^2}{\mathsf d} \tilde x \\ t &= t_0 + \tfrac{1}{c} \int_{\tilde x=x_0}^x \tilde x^{-2} {\mathsf d} \tilde x \\ t &= t_0 + \tfrac{1}{c} \left\{ \left[\tilde x^{-1}\right]^x_{x_0} \right\} \\ t &= t_0 + \tfrac{1}{c x_{0}} - \tfrac{1}{c x}\end{split}\]

b) t(x) für die Teilchen

Sei:

• \(t_1(x)\): Zeit, zu der Teilchen 1 bei \(x\) ist und

• \(t_2(x)\): Zeit, zu der Teilchen 2 bei \(x\) ist.

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tfrac{t_1(x)}{\mathrm{s}} &= 5 - \tfrac{10}{\tfrac{x}{\mathrm m}} \\ \tfrac{t_2(x)}{\mathrm{s}} &= \tfrac{9}{2} - \tfrac{5}{\tfrac{x}{\mathrm m}}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der Parameter für Teilchen 1 und 2 in (1) liefert:

\[\begin{split}t_1(x)&= 0 \,\mathrm s + \tfrac{1}{\tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} \cdot 2 \,\mathrm m} - \tfrac{1}{\tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} x} \\ \tfrac{t_1(x)}{\mathrm s} &= 5 - \tfrac{10}{\tfrac{x}{\mathrm m}} \\ t_2(x) &= 2 \,\mathrm s + \tfrac{1}{\tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} \cdot 2 \,\mathrm m} - \tfrac{1}{\tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} x} \\ \tfrac{t_2(x)}{\mathrm s} &= \tfrac{9}{2} - \tfrac{5}{\tfrac{x}{\mathrm m}}\end{split}\]

c) v(x) für die Teilchen

Sei:

• \(v_1(x)\): Geschwindigkeit von Teilchen 1 bei \(x\) und

• \(v_2(x)\): Geschwindigkeit von Teilchen 2 bei \(x\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}v_1 \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &=\tfrac{1}{10} \, \left\{\tfrac{x}{\mathrm m}\right\}^2 \\ v_2 \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &=\tfrac{1}{5} \, \left\{\tfrac{x}{\mathrm m}\right\}^2\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der Parameter für Teilchen 1 und 2 in \(v=c x^2\) liefert:

\[\begin{split}v_1 &= \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} x^2 \\ v_1 \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &=\tfrac{1}{10} \, \left\{\tfrac{x}{\mathrm m}\right\}^2 \\ v_2 &= \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} x^2 \\ v_2 \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &=\tfrac{1}{5} \, \left\{\tfrac{x}{\mathrm m}\right\}^2\end{split}\]

d) t(x) und v(x)

Füllen Sie die Tabelle.

\(x\)	\(\tfrac{x}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{t_2}{\mathrm{s}}\)	\(\tfrac{t_2}{\mathrm{s}}\)	\(\tfrac{v_1}{\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\)	\(\tfrac{v_2}{\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\)
\(2\,\mathrm{m}\)	\(2\)
\(4\,\mathrm{m}\)	\(4\)
\(6\,\mathrm{m}\)	\(6\)
\(8\,\mathrm{m}\)	\(8\)
\(10\,\mathrm{m}\)	\(10\)

Zeichnen Sie ein Diagramm:

• horizontale Achse: \(2 \le \tfrac{x}{\mathrm m} \le 10\).

• vertikale Achse links: \(t_1(x)\) und \(t_2(x)\) in \(\mathrm{s}\) (Sekunde).

• vertikale Achse rechts: \(v_1(x)\) und \(v_2(x)\) in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) (Meter pro Sekunde).

Lösung

\(x\)	\(\tfrac{x}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{t_1}{\mathrm{s}}\)	\(\tfrac{t_2}{\mathrm{s}}\)	\(\tfrac{v_1}{\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\)	\(\tfrac{v_2}{\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\)
\(2\,\mathrm{m}\)	\(2\)	\(0\)	\(2\)	\(\tfrac{2}{5}=0{,}4\)	\(0.8\)
\(4\,\mathrm{m}\)	\(4\)	\(\tfrac 5 2=2{,}5\)	\(\tfrac{13}{4}=3{,}25\)	\(\tfrac{8}{5}=1{,}6\)	\(3.2\)
\(6\,\mathrm{m}\)	\(6\)	\(\tfrac{10}{3}=3{,}\bar 3\)	\(\tfrac{22}{6}=3{,}\bar 6\)	\(\tfrac{18}{5}=3{,}6\)	\(7.2\)
\(8\,\mathrm{m}\)	\(8\)	\(\tfrac{15}{4}=3{,}75\)	\(\tfrac{31}{8}=3{,}875\)	\(\tfrac{32}{5}=6{,}4\)	\(12.8\)
\(10\,\mathrm{m}\)	\(10\)	\(4\)	\(4\)	\(\tfrac{50}{5}=10\)	\(20\)

e) x(t)

Verwenden Sie (1). Und berechnen Sie daraus die Position \(x\) abhängig von der Zeit. Zeigen Sie, dass:

\[x(t) = \tfrac{x_{0}}{- c t x_{0} + c t_{0} x_{0} + 1}\]

Sei:

• \(x_1(t)\): Position von Teilchen 1 zur Zeit \(t\) und

• \(x_2(t)\): Position von Teilchen 2 zur Zeit \(t\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}x_1(t) \, / \, \mathrm m &= - \tfrac{10}{\tfrac{t}{\mathrm{s}} - 5} \\ x_2(t)\, / \, \mathrm m &= - \tfrac{10}{2 \tfrac{t}{\mathrm{s}} - 9}\end{split}\]

Lösung

Auflösen nach (1) nach \(x\) liefert:

\begin{equation} \label{eq-3.1.1.L-2} x(t) = \tfrac{x_{0}}{- c t x_{0} + c t_{0} x_{0} + 1}\tag{2} \end{equation}

Einsetzen der Parameter für Teilchen 1 und 2 in (2) liefert die Behauptung.

\[\begin{split}x_1(t) &= \tfrac{2\,\mathrm{m}}{- \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} t \cdot 2\,\mathrm{m} + \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 0\, \mathrm{s} \cdot 2\,\mathrm{m} + 1} \\ &= \ldots \\ x_1(t) \, / \, \mathrm m &= - \tfrac{10}{\tfrac{t}{\mathrm{s}} - 5} \\ x_2(t) &= \tfrac{2\,\mathrm{m}}{- \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} t \cdot 2\,\mathrm{m} + \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 2\, \mathrm{s} \cdot 2\,\mathrm{m} + 1} \\ &= \ldots \\ x_2(t)\, / \, \mathrm m &= - \tfrac{10}{2 \tfrac{t}{\mathrm{s}} - 9}\end{split}\]

f) x(t) Tabelle und Diagramm

Füllen Sie die Tabelle.

\(t\)	\(\tfrac{t}{\mathrm{s}}\)	\(\tfrac{x_1(t)}{\mathrm m}\)	\(\tfrac{x_2(t)}{\mathrm m}\)
\(0\,\mathrm{s}\)	\(0\)
\(1\,\mathrm{s}\)	\(1\)
\(2\,\mathrm{s}\)	\(2\)
\(3\,\mathrm{s}\)	\(3\)
\(4\,\mathrm{s}\)	\(4\)

Zeichnen Sie ein Diagramm:

• horizontale Achse: \(0 \le \tfrac{t}{\mathrm s} \le 4\).

• vertikale Achse: \(x_1(t)\) und \(x_2(t)\) in \(\mathrm{m}\) (Meter).

Lösung

\(t\)	\(\tfrac{t}{\mathrm{s}}\)	\(\tfrac{x_1(t)}{\mathrm m}\)	\(\tfrac{x_2(t)}{\mathrm m}\)
\(0\,\mathrm{s}\)	\(0\)	\(2\)	nicht def.
\(1\,\mathrm{s}\)	\(1\)	\(\tfrac{5}{2}\)	nicht def.
\(2\,\mathrm{s}\)	\(2\)	\(\tfrac{10}{3}\)	\(2\)
\(3\,\mathrm{s}\)	\(3\)	\(5\)	\(\tfrac{10}{3}\)
\(4\,\mathrm{s}\)	\(4\)	\(10\)	\(10\)

g) a(x) allgemein

Verwenden Sie die Kettenregel und \(x(t)\), und berechnen Sie die Beschleunigung \(a\) abhängig von \(x\):

\[\begin{split}a(x(t)) &= \tfrac{{\mathsf d}\,}{{\mathsf d}\,t} v(x(t)) \\ &= \ldots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}a(x(t)) &= \tfrac{{\mathsf d}\,}{{\mathsf d}\,t} v(x(t)) \\ &= \tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x}\cdot \tfrac{{\mathsf d}\,x}{{\mathsf d}\,t} \\ &= \tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x}\cdot v \\ &= v \tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,x} \\ &= c x^2 \cdot 2 c x\\ &= 2 c^2 x^3\end{split}\]

h) a(t) für die Teilchen

Berechnen Sie die Beschleunigung \(a\) abhängig von \(t\) durch Einsetzen von \(x(t)\) auf (2) in \(a(x(t))\):

\[a(t)=\dots\]

Sei:

• \(a_1(t)\): Beschleunigung von Teilchen 1 zur Zeit \(t\) und

• \(a_2(t)\): Beschleunigung von Teilchen 2 zur Zeit \(t\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}a_1(t) \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac{4}{25 \left(- \tfrac{\tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + 1\right)^{3}} \\ a_2(t)\, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac{16}{25 \left(- \tfrac{2 \tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + \tfrac{9}{5}\right)^{3}}\end{split}\]

Lösung

\[a(x(t)) = 2 c^2 x^3\]

Einsetzen von \(x(t)\) aus (2) liefert:

\[a(t) = 2 c^2 \left\{\tfrac{x_{0}}{- c t x_{0} + c t_{0} x_{0} + 1}\right\}^3\]

Einsetzen der Parameter für Teilchen 1 und 2 in diese Gleichung liefert die Behauptung.

\[\begin{split}a_1 &= 2 \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s}^2 \left\{\tfrac{2 \,\mathrm m}{- \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} t \cdot 2 \,\mathrm m + \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 0 \,\mathrm s \cdot 2 \,\mathrm m + 1}\right\}^3 \\ &= \ldots \\ a_1(t) \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac{4}{25 \left(- \tfrac{\tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + 1\right)^{3}} \\ a_2 &=2 \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s}^2 \left\{\tfrac{2 \,\mathrm m}{- \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} t \cdot 2 \,\mathrm m + \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 2 \,\mathrm s \cdot 2 \,\mathrm m + 1}\right\}^3 \\ &= \ldots \\ a_2(t)\, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} &= \tfrac{16}{25 \left(- \tfrac{2 \tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + \tfrac{9}{5}\right)^{3}}\end{split}\]

i) v(t) für die Teilchen

Sei:

• \(v_1(t)\): Geschwindigkeit von Teilchen 1 abhängig von \(t\) und

• \(v_2(t)\): Geschwindigkeit von Teilchen 2 abhängig von \(t\).

Berechnen Sie \(v_1(t)\) und \(v_2(t)\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}v_1(t) \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &= \tfrac{2}{5 \left(- \tfrac{\tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + 1\right)^{2}} \\ v_2(t) \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &= \tfrac{4}{5 \left(- \tfrac{2 \tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + \tfrac{9}{5}\right)^{2}}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen von \(x\) aus (2) in \(v=cx^2\) liefert:

\[\begin{split}v &= c x^2 \\ &= \tfrac{c x_{0}^{2}}{\left(- c t x_{0} + c t_{0} x_{0} + 1\right)^{2}}\end{split}\]

Einsetzen der Parameter für Teilchen 1 und 2 in diese Gleichung liefert die Behauptung.

\[\begin{split}v_1 &= \tfrac{\tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 2 \,\mathrm m^{2}}{\left(- \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} t \cdot 2 \,\mathrm m + \tfrac{1}{10} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 0 \,\mathrm s \cdot 2 \,\mathrm m + 1\right)^{2}}\\ &= \ldots \\ v_1(t) \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &= \tfrac{2}{5 \left(- \tfrac{\tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + 1\right)^{2}} \\ v_2 &= \tfrac{\tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 2 \,\mathrm m^{2}}{\left(- \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} t \cdot 2 \,\mathrm m + \tfrac{1}{5} \, \tfrac{1}{\mathrm m \, \mathrm s} 2 \,\mathrm s \cdot 2 \,\mathrm m + 1\right)^{2}}\\ &= \ldots \\ v_2(t) \, / \, \tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &= \tfrac{4}{5 \left(- \tfrac{2 \tfrac{t}{\mathrm s}}{5} + \tfrac{9}{5}\right)^{2}}\end{split}\]

j) Diagramm

Zeichnen Sie ein Diagramm mit zwei vertikalen Achsen:

• horizontale Achse: \(0 \le \tfrac{t}{\mathrm s} \le 4\).

• vertikale Achse links: \(a_1(t) \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) und \(a_2(t) \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

• vertikale Achse rechts: \(v_1(t) \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) und \(v_2(t) \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

Lösung