3.1.2.A

Gegeben

Symbole:

\[m, v_0, \mu, g\]

Größen:

\[\begin{split}m &= 50 \,\mathrm{kg} \\ v_0 &= 20 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ \mu &= 0{,}8 \\ g &= 10 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Eine Punktmasse hat die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\).
Die Punktmasse wird durch Reibung entlang der Strecke \(a\) abgebremst.
Die Punktmasse kommt am Ende der Strecke (also ganz rechts) zum Stillstand.

Berechnen Sie die Strecke \(a\).

a) Potentielle und kinetische Energie

Sei:

0: Zustand am Anfang
1: Zustand am Ende

Berechnen Sie potentielle und kinetische Energie am Anfang und am Ende, und zwar:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen

Lösung

Für die gegebenen Symbole bzw. für die gegebenen Größen gilt, wenn das Nullniveau auf Höhe der Punktmasse festgelegt wird:

\[\begin{split}E_{\mathsf{pot}0}&=0 \\ E_{\mathsf{kin}0}&=\tfrac12 m v_0^2 = 10\,\mathrm{kNm}\\ E_{\mathsf{pot}1}&=0 \\ E_{\mathsf{kin}1}&=0\end{split}\]

b) Arbeit

Berechnen Sie die Arbeit \(W_{01}^{\mathsf{von}}\), die zwischen Zustand 0 und Zustand 1 von der Punktmasse am Boden geleistet wird, und zwar für die gegebenen Symbole und abhängig von \(a\).

Lösung

Die Reibkraft \(\mu m g\) wirkt vom Boden auf die Masse (nach links) und, wegen Actio = Reactio, von der Masse auf den Boden nach links.

Arbeit \(W_{01}^{\mathsf{von}}\) geleistet von der Punktmasse:

\[\begin{split}W_{01}^{\mathsf{von}} &= \int_{x=0}^a \mu m g \, {\mathsf d}x \\ &= a \mu m g\end{split}\]

Die Arbeit ist \(W = \int \boldsymbol F \cdot \boldsymbol{{\mathsf d}x}\) und \(\boldsymbol F\) und \(\boldsymbol{{\mathsf d}x}\) haben dieselbe Richtung, sodass die Arbeit positiv ist.

c) Arbeitssatz

Berechnen Sie \(a\) mit dem Arbeitssatz , und zwar:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen

Lösung

Die Gesamtenergie der Masse im Zustand 1 ist gleich der Gesamtenergie der Masse im Zustand 0 minus der Arbeit \(W_{01}^{\mathsf{von}}\), die von der Masse (am Boden) geleistet wird.

\[\begin{split}E_{\mathsf{pot}1} + E_{\mathsf{kin}1} &= E_{\mathsf{pot}0} + E_{\mathsf{kin}0} - W_{01}^{\mathsf{von}} \\\end{split}\]

Einsetzen der Ergebnisse von oben und Umstellen nach \(a\) liefert:

\[\begin{split}E_{\mathsf{pot}1} + E_{\mathsf{kin}1} &= E_{\mathsf{pot}0} + E_{\mathsf{kin}0} - W_{01}^{\mathsf{von}} \\ 0 + 0 &= 0 + \tfrac12 m v_0^2 - \mu a m g \\ a &= \tfrac12 \tfrac{v_0^2}{\mu g}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[a = 25\,\mathrm{m}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

kNm       =  kN*m


# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

mass, v0, mu, grav = symbols("m, v0, mu, g")

sub_list = [
    ( mass,   50  *kg     ),
    ( v0,     20  *m/s    ),
    ( mu, S(4)/5          ),
    ( grav,   10  *m/s**2 ),
    ]

# sub_list = [
#     ( mass,   1500  *kg   ),
#     ( v0,     36  *m/s    ),
#     ( mu, S(4)/5          ),
#     ( grav,   10  *m/s**2 ),
#     ]


pprint("\nE0 / kNm:")
E0 = mass*v0*v0/2
printout(E0, unit=kNm, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nW01:")
x, a = symbols("x, a")
F = mu*mass*grav
W01 = integrate(F,(x,0,a))
printout(W01, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\na / m:")
eq = Eq(W01, E0)
sol = solve(eq, a)
a = sol[0]
printout(a, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.