3.1.2.C

Gegeben

Symbole:

\[a_1, a_2, g, m, \mu\]

und:

\[\begin{split}0^\circ<\varphi&<90^\circ \\ v(x=0)&=0\, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Größen:

\[\begin{split}(a_1, a_2) &= (2\, \mathrm{m}, 1\, \mathrm{m}) \\ g &= 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ m &= 100\, \mathrm{kg} \\ \varphi &= 15^\circ \\ \mu &= \tfrac13\end{split}\]

0: Punktmasse ist in Ruhe.
0-1: Punktmasse gleitet reibungsfrei eine glatte Fläche hinab.
1-2: Punktmasse gleitet mit Reibung eine raue Fläche hinab.

a) Arbeitssatz

Sei: \(v_1>0\) die Geschwindigkeit bei \(x = a_1\).

Berechnen Sie diese Geschwindigkeit mit dem Arbeitssatz:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[v_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}22 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}E_{\mathsf{pot},0}&=m g a_1 s_\varphi \\ E_{\mathsf{kin},0}&=0 \\ E_{\mathsf{pot},1}&=0 \\ E_{\mathsf{kin},1}&= \tfrac 1 2 m v_1^2\end{split}\]

Arbeitssatz :

\[\begin{split}m g a_1 s_\varphi &= \tfrac 1 2 m v_1^2 \\ v_1 &= \pm \sqrt{2 g a_1 s_\varphi}\end{split}\]

Wenn wie gefordert gilt \(0^\circ<\varphi<90^\circ\) und \(v_1>0\), dann ist:

\[v_1 = \sqrt{2 g a_1 s_\varphi}\]
Für die gegebenen Größen:

\[v_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}22 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

b) Geleistete Arbeit

Sei \(W_{12}^{\mathsf{von}}\) die von der Masse (am Boden) geleistete Arbeit.

Berechnen Sie diese Arbeit:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[W_{12}^{\mathsf{von}} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 321{,}98 \, \mathrm{Nm}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}W_{12}^{\mathsf{von}} &= \int_{x=a_1}^{a_1 + a_2} R \, {\mathsf d}x \\ &= \int_{x=a_1}^{a_1 + a_2} \mu m g c_\varphi \, {\mathsf d}x \\ &= a_2 \mu m g c_\varphi \\\end{split}\]
Für die gegebenen Größen: Einsetzen der Größen liefert die Behauptung.

c) Geschwindigkeit bei 2

Sei \(v_2>0\) die Geschwindigkeit bei \(x = a_1 + a_2\). Berechnen Sie diese Geschwindigkeit:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[v_2 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}01 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

Arbeitssatz:

\[E_{\mathsf{pot},2} + E_{\mathsf{kin},2} - \left( E_{\mathsf{pot},1} + E_{\mathsf{kin},1} \right) = W_{12}^{R, \mathsf{an}}\]

mit Nullniveau auf Höhe von 1 und:

\[\begin{split}E_{\mathsf{pot},1}&=0 \\ E_{\mathsf{pot},2} &= - m g a_2 s_\varphi \\ E_{\mathsf{kin},1}&= \tfrac 1 2 m v_1^2 \\ E_{\mathsf{kin},2} &= \tfrac 1 2 m v_2^2 \\ W_{12}^{R, \mathsf{an}}&= - a_2 \mu m g c_\varphi\end{split}\]

Einsetzen dieser fünf Größen in den Arbeitssatz liefert:

\[- m g a_2 s_\varphi + \tfrac 1 2 m v_2^2 - 0 - \tfrac 1 2 m v_1^2 = - a_2 \mu m g c_\varphi\]

Einsetzen von \(v_1\) von oben in diese Gleichung liefert:

\[\begin{split}- m g a_2 s_\varphi + \tfrac 1 2 m v_2^2 - 0 - \tfrac 1 2 m \cdot 2 g a_1 s_\varphi &= - a_2 \mu m g c_\varphi \\ - g a_2 s_\varphi + \tfrac 1 2 v_2^2 - g a_1 s_\varphi &= - a_2 \mu g c_\varphi \\ \tfrac 1 2 v_2^2 &= g a_2 s_\varphi + g a_1 s_\varphi - a_2 \mu g c_\varphi \\ v_2 &= \pm\sqrt{ 2g \left\{ (a_1 + a_2) s_\varphi - a_2 \mu c_\varphi \right\} }\end{split}\]
Für die gegebenen Größen: Einsetzen der Größen liefert die Behauptung.

Details

Alternativ:

\[E_{\mathsf{kin},2} - E_{\mathsf{kin},1} = W_{12}^{mg, \mathsf{an}} + W_{12}^{R, \mathsf{an}}\]

wenn man die Arbeit \(W_{12}^{mg, \mathsf{an}}\) definiert als Arbeit, die an der Masse geleistet wird, um sie im Schwerefeld zu bewegen, also:

\[W_{12}^{mg, \mathsf{an}} = mg a_2 s_\varphi\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

Nm        =  N*m
# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec = 2

a1, a2, grav, mass, phi, mu = symbols("a1, a2, g, mass, phi, mu")

sub_list = [
    ( a1,     2 *m     ),
    ( a2,     1 *m     ),
    ( grav,  10 *m/s/s ),
    ( mass, 100 *kg    ),
    ( phi,   15 *deg   ),
    ( mu,   S(1)/3     ),
    ]

x, v1, v2 = symbols("x, v1, v2", positive=True)

pprint("\nv1:")
sp = sin(phi)
eq = Eq(mass*grav*a1*sp , mass*v1*v1 / 2)
sol = solve(eq, v1)
pprint(sol)

pprint("\nv1 / (m/s):")
eq = eq.subs(sub_list)
sol = solve(eq, v1)
v1s = sol[0]
printout(v1s, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nW12von / (Nm):")
W12v = a2*mu*mass*grav*cos(phi)
printout(W12v, unit=Nm, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nv2 / (m/s):")
E1 = mass*v1**2 / 2
E2 = W12v + mass *v2**2 / 2 - mass*grav*a2*sp
eq = Eq(E1, E2)
sol = solve(eq, v2)
pprint(sol)
eq = eq.subs(sub_list)
sol = solve(eq, v2)
v2s = sol[0]
v2s = v2s.subs(v1, v1s)
printout(v2s, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.