3.1.2.D

Gegeben

Symbole:

\[a, h, g, m, v_0 > 0, \mu, c\]

Größen:

\[\begin{split}(a, h) &= (3\, \mathrm{m}, 2\, \mathrm{m} ) \\ g &= 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ m &= 30\, \mathrm{kg} \\ v_0 &= 1 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ \mu &= 0, \mu = \tfrac12 \\ c &= 100 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}}\end{split}\]

• 0: Punktmasse hat Geschwindigkeit \(v_0\).

• 0-1: Punktmasse gleitet reibungsfrei über eine glatte Fläche.

• 1-2: Punktmasse gleitet mit Reibung über eine raue Fläche.

• 2-3: Punktmasse gleitet weiter über die raue Fläche und verkürzt dabei eine Feder um \(x\).

• 3: Geschwindigkeit der Punktmasse ist null, und \(x\) ist maximal.

a) Arbeitssatz

Sei \(v_1>0\) die Geschwindigkeit bei 1.

Berechnen Sie diese Geschwindigkeit mit dem Arbeitssatz, d.h. mit der Aussage: Ein System gewinnt/verliert an Energie genau so viel, wie an Arbeit am/vom System geleistet wird.

• für die gegebenen Symbole und

• für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[v_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}40 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Lösung

• \(v_1 > 0\) für die gegebenen Symbole:

  \[\begin{split}m g h + \tfrac12 m v_0^2 &= \tfrac12 m v_1^2 \\ v_1 &= \sqrt{2 g h + v_0^2}\end{split}\]

• Für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

  \[v_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}40 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

b) Arbeiten

Sei:

• \(W_{12}^{\mathsf{von}}\): Die Arbeit, die zwischen 1 und 2 von der Masse am Boden geleistet wird.

• \(W_{12}^{\mathsf{an}}\): Die Arbeit, die zwischen 1 und 2 vom Boden an der Masse geleistet wird.

Berechnen Sie diese Arbeiten:

• für die gegebenen Symbole und

• für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}W_{12}^{\mathsf{von}} &= 450 \, \mathrm{Nm} \\ W_{12}^{\mathsf{an}} &= -450 \, \mathrm{Nm}\end{split}\]

Lösung

Details

Die Freischnitte zeigen: Die Reibkraft \(\mu m g\) wirkt am Boden nach rechts, wenn die Punktmasse nach rechts rutscht. Aufgrund Actio = Reactio wirkt dieselbe Kraft in entgegengesetzter Richtung auf die Masse - also nach links.

• Für die gegebenen Symbole:

  \[\begin{split}W_{12}^{\mathsf{von}} &= \int_{x=-a}^{0} \mu m g \, {\mathsf d}x \\ &= a \mu m g \\ W_{12 }^{\mathsf{an}} &= - W_{12}^{\mathsf{von}}\end{split}\]

• Für die gegebenen Größen:

  \[\begin{split}W_{12}^{\mathsf{von}} &= 450 \, \mathrm{Nm} \\ W_{12}^{\mathsf{an}} &= -450 \, \mathrm{Nm}\end{split}\]

c) Geschwindigkeit bei 2

Sei \(v_2>0\) die Geschwindigkeit bei 2.

Berechnen Sie diese Geschwindigkeit mit dem Arbeitssatz:

• für die gegebenen Symbole und

• für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

  \[v_2 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}32 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Lösung

• Für die gegebenen Symbole:

  Zustand	Kin. Energie d. Masse	Energie d. Bodens
  1	\(\tfrac12 m v_1^2\)	\(0\)
  2	\(\tfrac12 m v_2^2\)	\(\mu m g a\)

\[\begin{split}\tfrac12 m v_2^2 - \tfrac12 m v_1^2 &= - \mu m g a \\ v_2 &= \sqrt{2 g \left( h - a \mu \right) + v_0^2}\end{split}\]

Details

Energiesatz: Die Erhöhung der kinetischen Energie einer Punktmasse ist gleich der an ihr geleisteten Arbeit aufgrund der an ihr wirkenden resultierenden Kraft.

Zwischen 1 und 2 ist die Erhöhung der kinetischen Energie gleich \(\tfrac12 m v_2^2 - \tfrac12 m v_1^2\). Die an der Masse wirkende Resultierende ist die vom Boden ausgehende und an der Masse wirkende Reibkraft. Die an der Masse geleistete Arbeit der Reibkraft ist gleich \(- \mu m g a\), da die Reibkraft nach links wirkt und die Bewegung nach rechts erfolgt.

• Für die gegebenen Größen:

  \[\begin{split}v_2 &= \sqrt{11}\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}32 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

d) Verkürzung der Feder

Sei \(x_{\mathsf{max}}\) die maximale Verkürzung der Feder. Berechnen Sie diese Verkürzung mit dem Energiesatz/Arbeitssatz zwischen 2 und 3:

• für die gegebenen Symbole und

• für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

  \[x_{\mathsf{max}} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 55{,}97 \, \mathrm{mm}\]

Lösung

• Für die gegebenen Symbole:

  Zustand	Kin. Energie d. Masse	Energie d. Feder	Energie d. Bodens
  2	\(\tfrac12 m v_2^2\)	\(0\)	\(0\)
  3	\(0\)	\(\tfrac12 c x_{\mathsf{max}}^2\)	\(\mu m g x_{\mathsf{max}}\)

  \[\begin{split}\tfrac12 m v_2^2 &= \tfrac12 c x_{\mathsf{max}}^2 + \mu m g x_{\mathsf{max}} \\ x_{\mathsf{max}} &= - \tfrac{\mu m g}{c} \pm \sqrt{\left(\tfrac{\mu m g}{c}\right)^2 + \tfrac{m v_2^2}{c}} \\ &= - \tfrac{\mu m g}{c} + \sqrt{\left(\tfrac{\mu m g}{c}\right)^2 + \tfrac{m v_2^2}{c}}\end{split}\]

• Für die gegebenen Größen:

  \[x_{\mathsf{max}} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 55{,}97 \, \mathrm{mm}\]

e) Dauer der Bewegung

Sei:

• \(t_1\): Der Zeitpunkt, zu dem die Masse bei 1 ist.

• \(t_2\): Der Zeitpunkt, zu dem die Masse bei 2 ist.

Berechnen Sie die Zeit \(t_2 - t_1\), die vergeht, während die Masse sich von 1 nach 2 bewegt.

• für die gegebenen Symbole und

• für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

  \[t_2 - t_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}62\,\mathrm{s}\]

Hinweis: Integrieren Sie ausgehend von der Beschleunigung \(\ddot x\) der Masse:

\[\begin{split}\ddot x &= \tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,t} \\ \ddot x \, {\mathsf d}t &= {\mathsf d}v\end{split}\]

Lösung

• Für die gegebenen Symbole: Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt für die Beschleunigung \(\ddot x\) der Masse nach rechts:

  \[\begin{split}m \ddot x &= - \mu m g \\ \ddot x &= - \mu g\end{split}\]

  Einsetzen dieser Beschleunigung in die allgemeine Aussage \(\ddot x = \tfrac{{\mathsf d}\,v}{{\mathsf d}\,t}\) liefert:

  \[\begin{split}\ddot x \, {\mathsf d}t &= {\mathsf d}v \\ \int_{t_1}^{t_2} \ddot x \, {\mathsf d}t &= \int_{\tilde v = v(t_1)}^{v(t_2)} {\mathsf d}\tilde v \\ \int_{t_1}^{t_2} - \mu g \, {\mathsf d}t &= v_2 - v_1 \\ - \mu g \left( t_2 - t_1 \right) &= v_2 - v_1 \\ t_2 - t_1 &= \tfrac{v_1 - v_2}{\mu g}\end{split}\]

• Für die gegebenen Größen:

  \[t_2 - t_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}62\,\mathrm{s}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
N         =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*N
Pa        =  N/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
mm        =  m / 1000

Nm        =  N*m

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec = 2

a, h, g, M, v0, mu, c = symbols("a, h, g, M, v0, mu, c", positive=True)

sub_list = [
    ( a,      3  *m    ),
    ( h,      2  *m    ),
    ( g,  10  *m/s/s   ),
    ( M,     30  *kg   ),
    ( v0,     1  *m/s  ),
    ( mu,   S(1)/2     ),
    ( c,    100  *N/mm ),
    ]

x, v1, v2 = symbols("x, v1, v2", positive=True)

pprint("\nv1 / (m/s):")
eq = Eq(M*g*h + M*v0*v0 / 2 , M*v1*v1 / 2)
sol = solve(eq, v1)
v1 = sol[0]
printout(v1, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nW12by / (Nm):")
W12by = a*mu*M*g
printout(W12by, unit=Nm, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nv2 / (m/s):")
eq = Eq( M*v1*v1 / 2 , W12by + M*v2*v2 / 2 )
sol = solve(eq, v2)
v2 = sol[0]
printout(v2, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nx_max / mm:")
eq = Eq( M*v2*v2 / 2 , c*x*x/2 + mu*M*g*x)
sol = solve(eq, x)
xmax = sol[0]
printout(xmax, unit=mm, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nt12 / s:")
t12 = (v1 - v2) / mu / g
printout(t12, unit=s, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

3. Play: Knopf ▶ drücken.