3.1.3.A

Gegeben

Symbole:

\[a_0 > 0, b, h, g, 0^\circ<\alpha<90^\circ\]

Größen:

\[\begin{split}a_0 &= 3 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \\ (b, h) &= (2 \,\mathrm{m}, 2 \,\mathrm{m}) \\ \alpha &= 40^\circ \\ g &= 10 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Eine Punktmasse wird auf einer geraden Strecke \(b\) beschleunigt mit der Beschleunigung \(a(t) = 6 a_0 \tfrac{t}{t_b}\). Danach fliegt sie reibungsfrei im Schwerefeld.

\(t=0 \,\mathrm{s}\): Anfangs-Zeitpunkt, bei dem die Masse in der dargestellten Position ist.
\(t=t_b\): Der Zeitpunkt, bei dem die Masse am Ursprung des \((x,z)\)-Koordinatensystems ist.
\(s\): Position der Masse auf der Geraden der Länge \(b\).
\(v\): Geschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit) der Masse.

a) Geschwindigkeit und Position

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v\) und die Position \(s\) auf der geraden Strecke im Zeitintervall \(0 \le t \le t_b\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}v(t) &= \tfrac{3 a_{0} t^{2}}{t_{b}} \\ s(t) &= \tfrac{a_{0} t^{3}}{t_{b}}\end{split}\]

Lösung

Bestimmte Integration liefert:

\[\begin{split}v(t) - v(t=0\,\mathrm{s}) &=\int_{\tilde t = 0\,\mathrm{s}}^t a\left(\tilde t\right) \, d \tilde t \\ v(t) - 0 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} &= \int_0^t a(\tilde t) \, d \tilde t \\ &= \dots \\ &= \tfrac{3 a_{0} t^{2}}{t_{b}} \\ \\ s(t) - s(t=0\,\mathrm{s}) &=\int_{\tilde t = 0\,\mathrm{s}}^t v\left(\tilde t\right) \, d \tilde t \\ &= 0\,{\mathrm{m}} + \int_0^t v(\tilde t) \,d \tilde t \\ &= \dots \\ &= \tfrac{a_{0} t^{3}}{t_{b}}\end{split}\]

b) Zeitpunkt für \(s=b\)

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie den Zeitpunkt \(t_b\), an dem die Punktmasse die Strecke \(b\) zurückgelegt hat, sodass sie am Ursprung des \((x,z)\)-Koordinatensystems ist. Zeigen Sie, dass:

\[t_b = \sqrt{\tfrac{b}{a_0}}\]

Lösung

Zum Zeitpunkt \(t_b\) ist die Masse am Ursprung des Koordinatensystems, und es gilt:

\[s(t_b) = a_{0} t_b^{2} = b\]

sodass:

\[t_b = \sqrt{\tfrac{b}{a_0}}\]

c) Geschwindigkeit für diesen Zeitpunkt

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_b\), an dem die Punktmasse die Strecke \(b\) zurückgelegt hat, sodass sie am Ursprung des \((x,z)\)-Koordinatensystems ist.

\[v(t_b)=\dots\]

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie \(v(t_b)\). Zeigen Sie, dass:

\[v(t_b)\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 7{,}35 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

Lösung

Geschwindigkeit: Einsetzen von \(t_b\) in \(v(t)\) liefert:

\[\begin{split}v(t_b) &= 3 a_0 t_b \\ &= 3 a_0 \sqrt{\tfrac{b}{a_0}} \\ &= 3\sqrt{a_0 b}\end{split}\]

Einsetzen der Größen liefert:

\[v(t_b)\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 7{,}35 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

d) Geschwindigkeit bei Flugbeginn

Sei ab hier:

\(t=0\,\mathrm{s}\): Der Zeitpunkt in dem Moment, wo die Masse am Ursprung des \((x,y)\)-Koordinatensystems ist und den Flug beginnt.
\(v_0\): Die Geschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit) der Punktmasse in diesem Moment gegeben als:

\[v_0 = 3\sqrt{a_0 b}\]

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten \((v_{0x}, v_{0y})\) des Geschwindigkeitsvektors in diesem Moment:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 5{,}63 \\ 4{,}72 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \end{bmatrix} &= v_0 \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 5{,}63 \\ 4{,}72 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

e) Vektor-Komponenten

Seien:

\((v_x, v_y)\): Die \((x,y)\)-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors der Masse.
\((x, y)\): Die \((x,y)\)-Koordinaten der Masse, d.h. die \((x,y)\)-Komponenten des Ortsvektors zur Masse.

Berechnen Sie diese Komponenten für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Schwerpunktsatz in \(x\)- und \(y\)-Richtung und Integration führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x\\ v_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} v_0 c_\alpha \\ v_0 s_\alpha - g t \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} v_0 c_\alpha t \\ v_0 s_\alpha t - \tfrac{1}{2}g t^2 \end{bmatrix}\end{split}\]

f) Zeitpunkt und Position bei Bodenberührung

Sei:

\(t=t^{\ast}\): Der Zeitpunkt, wo die Masse den Boden berührt.
\(x=x^{\ast}\): Der \(x\)-Position der Masse in diesem Moment.

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie \(t^{\ast}\) und \(x^{\ast}\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}t^{\ast} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}26 \,\mathrm{s}\\ x^{\ast} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 7{,}10 \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}y( {t^{\ast}}) &= -h \\ -\tfrac{g}{2} {t^{\ast}}^2 + v_0 {t^{\ast}} s_\alpha &= -h\\ {t^{\ast}}^2 - \tfrac{2 v_0 s_\alpha}{g} {t^{\ast}} - \tfrac{2 h}{g} &= 0 \\ {t^{\ast}} &= \tfrac{v_0 s_\alpha}{g} + \sqrt{\tfrac{v_0^2 s_\alpha^2}{g^2} + \tfrac{2 h}{g}} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}26 \,\mathrm{s}\end{split}\]

Zu diesem Zeitpunkt ist:

\[\begin{split}{x^{\ast}} &= x( {t^{\ast}}) \\ &=v_0 c_\alpha t^{\ast} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 7{,}10 \,\mathrm{m}\end{split}\]

g) Maximale Höhe

Sei \(y_{\mathsf{max}}\): Die maximale \(y\)-Position der Masse. Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie \(y_{\mathsf{max}}\). Zeigen Sie, dass:

\[y_{\mathsf{max}} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}12 \,\mathrm{m}\]

Lösung

Sei \(t_{\mathsf{max}}\) der Zeitpunkt, an dem die maximale Höhe erreicht wird und wo die Masse horizontal fliegt, sodass:

\[v_y(t_{\mathsf{max}})=0\]

Dann gilt:

\[v_y(t_{\mathsf{max}})=0 = v_0 s_\alpha - g t_{\mathsf{max}}\]

Und damit:

\[t_{\mathsf{max}} = \tfrac{v_0 s_\alpha}{g}\]

Die maximale Höhe über dem Ursprung des \((x,y)\)-Koordinatensystems ist in diesem Moment:

\[\begin{split}y_{\mathsf{max}} &= y( t_{\mathsf{max}})\\ &= v_0 s_\alpha t_{\mathsf{max}} -\tfrac{1}{2} g t_{\mathsf{max}}^2\end{split}\]

Einsetzen von \(t_{\mathsf{max}}\) liefert:

\[\begin{split}y_{\mathsf{max}} &= -\tfrac{g}{2} \tfrac{v_0^2 s_\alpha^2}{g^2}+ \tfrac{v_0 s_\alpha}{g} v_0 s_\alpha \\ &= \tfrac{1}{2} \tfrac{v_0^2 s_\alpha^2}{g} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}12 \,\mathrm{m}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

a0, b, h, alpha, g = symbols("a0, b, h, alpha, g", positive=True)

t, tb = symbols("t, tb", positive=True)
a = 6*a0*t/tb
ca, sa = cos(alpha), sin(alpha)

sub_list = [
    ( a0,     3   *m/s**2    ),
    ( alpha,  float(40 *deg) ),
    ( g,      10  *m/s**2    ),
    ( h,       2  *m         ),
    ( b,       2  *m         ),
    ]

pprint("\nv(t):")
v = integrate(a,t)
pprint(v)

pprint("\ns(t):")
S = integrate(v,t)
pprint(S)

pprint("\ntb:")
sb = S.subs(t,tb)
eq = Eq(sb, b)
sol = solve(eq, tb, dict=True)
assert(len(sol)==1)
sol=sol[0]
tbs = sol[tb]
pprint(tbs)

pprint("\nvb:")
vb = v.subs(t, tbs)
vb = vb.subs(tb, tbs)
pprint(vb)

pprint("\nv0:")
v0 = 3*sqrt(a0*b)
tmp = v0
pprint(tmp)

pprint("\nv0 / (m/s):")
printout(v0, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nv:")
vx = v0*ca
vy = v0*sa - g*t
v = Matrix([vx, vy])
tmp = v
pprint(v)

pprint("\nt* / s:")
tmp = v0*sa/g
ts = tmp + sqrt(tmp**2 + 2*h/g)
printout(ts, unit=s, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nx* / m:")
xs = v0*ca*ts
printout(xs, unit=m, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nymax / m:")
ymax = v0*v0*sa*sa/g/2
printout(ymax, unit=m, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.