3.1.3.B

Gegeben

Symbole:

\[R, m, \omega =\dot \varphi\]

Größen:

\[\begin{split}R &= 0{,}5\,\mathrm{m}\\ m &= 1 \,\mathrm{kg} \\ \omega &= \tfrac{2 \pi}{\mathrm{s}} =\dot \varphi\end{split}\]

Außerdem gibt es die Zeit \(t\), sodass:

\[\varphi(t = 0 \,\mathrm s) = 0\]

Ein masseloser Stab mit Punktmasse \(m\) rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega=\dot\varphi.\)

Berechnen Sie die Zugkraft im Stab. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Winkelposition

Berechnen Sie den Winkel \(\varphi(t)\), der die Winkelposition der Stange beschreibt:

mit Symbolen für beliebiges \(t\), also \(\varphi(t)=\dots\) und
mit Größen für den Zeitpunkt \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[\varphi(t=\tfrac14\,\mathrm{s}) = 90^\circ\]

Lösung

mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\varphi(t)= \omega t\]
mit Größen für den Zeitpunkt \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\varphi(t=\tfrac14\,\mathrm{s})&= \omega \tfrac14\,\mathrm{s}\\ &= \tfrac12 \pi \\ &= 90^\circ\end{split}\]

b) Position

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten \((r_x, r_y)\) des Ortsvektors \(\boldsymbol r\):

mit Symbolen für beliebiges \(t\) und
mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} c_{\omega t} \\ s_{\omega t} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

und mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ \end{bmatrix} &= R \begin{bmatrix} c_{\tfrac \pi 2} \\ s_{\tfrac \pi 2} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

c) Geschwindigkeit

Verwenden Sie die Ableitungen:

\[\left(\cos(\omega t)\right)\!\dot{\vphantom{X}} = - \omega \sin(\omega t) \quad,\quad \left(\sin(\omega t)\right)\!\dot{\vphantom{X}} = \omega \cos(\omega t)\]

Berechnen Sie damit die \((x,y)\)-Komponenten \((v_x, v_y)\) des Geschwindigkeitsvektors der Punktmasse:

mit Symbolen für beliebiges \(t\) und
mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -3{,}14 \\ 0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Lösung

mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ \end{bmatrix} &= R \omega \begin{bmatrix} -s_{\omega t}\\ c_{\omega t}\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -3{,}14 \\ 0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

d) Beschleunigung

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten \((a_x, a_y)\) des Beschleunigungsvektors der Punktmasse:

mit Symbolen für beliebiges \(t\) und
mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0\\ -19{,}74 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Lösung

mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ \end{bmatrix} &= R \omega^2 \begin{bmatrix} -c_{\omega t}\\ -s_{\omega t}\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0\\ -19{,}74 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

e) Position und Geschwindigkeit in Polarkoordinaten

Jeder Vektor in 2D lässt sich auch mit Polarkoordinaten beschreiben. Also auch der Ortsvektor zur Punktmasse und auch der Geschwindigkeitsvektor der Punktmasse:

\[\begin{split}\boldsymbol r &= r_r \boldsymbol e_r + r_\varphi \boldsymbol e_\varphi \\ \boldsymbol v &= v_r \boldsymbol e_r + v_\varphi \boldsymbol e_\varphi\end{split}\]

Berechnen Sie die \((r,\varphi)\)-Komponenten \((r_r, r_\varphi)\) und die \((r,\varphi)\)-Komponenten \((v_r, v_\varphi)\) des Geschwindigkeitsvektors:

mit Symbolen für beliebiges \(t\)

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots\\ \dots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots\\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]
mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0{,}5 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m} \\ \begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0 \\ 3{,}14 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

Lösung

Details siehe Bahn in Polarkoordinaten.

Der Ortsvektor \(\boldsymbol r\) ist:

\[\boldsymbol r = \underbrace{R}_{r_r} \boldsymbol e_r + \underbrace{0}_{r_\varphi} \boldsymbol e_\varphi\]

Der Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol v\) ist:

\[\begin{split}\boldsymbol v &= \left( R \boldsymbol e_r \right) \!\dot{\vphantom{X}} \\ &= R \dot{\boldsymbol e_r} \\ &= R \omega \boldsymbol e_\varphi \\ &= 0 \boldsymbol e_r + R \omega \boldsymbol e_\varphi\end{split}\]

Damit gilt:

mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} R \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ R \omega\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0{,}5 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,\mathrm{m} \\ \begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \\ \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0 \\ 3{,}14 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

f) Beschleunigung in Polarkoordinaten

Berechnen Sie die \((r,\varphi)\)-Komponenten des Beschleunigungsvektors der Punktmasse:

\[\boldsymbol a = a_r \boldsymbol e_r + a_\varphi \boldsymbol e_\varphi\]

Berechnen Sie:

mit Symbolen für beliebiges \(t\)

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots\\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]
mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -19{,}74 \\ 0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Lösung

Der Beschleunigungsvektor \(\boldsymbol a\) ist:

\[\begin{split}\boldsymbol a &= \dot{\boldsymbol v} \\ &= \left( R \omega \boldsymbol e_\varphi \right) \!\dot{\vphantom{X}} \\ &= R \omega \dot{\boldsymbol e_\varphi} \\ &= -R \omega^2 \boldsymbol e_r\end{split}\]

Damit gilt:

mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - R \omega^2\\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -19{,}74 \\ 0 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Bemerkung

Die Polarkoordinaten-Komponenten sind nicht von \(t\) abhängig.

g) Zugkraft im Stab

Berechnen Sie die Zugkraft \(S\) im Stab:

mit Symbolen für beliebiges \(t\)

\[S = \ldots\]
mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[S \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 19{,}74 \,\mathrm{N}\]

Lösung

Schwerpunktsatz in Richtung \(\boldsymbol e_r\):

mit Symbolen für beliebiges \(t\):

\[\begin{split}m a_r &= - S \\ - m R \omega^2 &= - S \\ S &= m R \omega^2\end{split}\]
mit Größen für \(t=\tfrac14 \,\mathrm{s}\):

\[S \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 19{,}74 \,\mathrm{N}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec = 2

R, M, w = symbols("R, M, omega")
t = symbols("t")

sub_list = [
    ( R, S(1)/2     *m  ),
    ( M,      1     *kg ),
    ( w,      2*pi  /s  ),
    ( t, S(1)/4     *s  ),
    ]

def phi(w,t):
    """phi = omega t"""
    return w * t

pprint("\nφ:")
p = phi(w,t)
pprint(p)

pprint("\nφ / deg:")
printout(p, unit=deg, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\n(x,y)-Components:")
pprint("r:")
rx = R*cos(phi(w,t))
ry = R*sin(phi(w,t))
r = Matrix([ rx, ry ])
pprint(r)

pprint("r / m:")
printout(r, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nv:")
v = diff(r,t)
pprint(v)

pprint("\nv / (m/s):")
printout(v, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\na:")
a = diff(v,t)
pprint(a)

pprint("\na / (m/s²):")
printout(a, unit=m/s**2, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\n(r,φ)-Components:")
pprint("\nr:")
r = Matrix([ R, 0 ])
pprint(r)

pprint("r / m:")
printout(r, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nv:")
v = Matrix([ 0, R*w ])
pprint(v)

pprint("\nv / (m/s):")
printout(v, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("a:")
a = Matrix([- R*w*w, 0])
pprint(a)

pprint("\na / (m/s²):")
printout(a, unit=m/s**2, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nS:")
S = M * R *w*w
pprint(S)

pprint("\nS / N:")
printout(S, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.