3.1.3.C

Gegeben

Symbole:

\[\alpha, g, h, x_P\]

Größen:

\[\begin{split}\alpha &= 30^\circ \\ g &= 10 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \\ h &= 1 \,\mathrm{m} \\ x_P &= 3 \,\mathrm{m}\end{split}\]

Eine Punktmasse fliegt reibungsfrei im Schwerefeld von A nach P.

a) Geometrie

Geben Sie für das gegebene \(\alpha=30^\circ\) ungerundete Zahlenwerte an für:

\begin{align*} \sin \alpha = s_\alpha &= \tfrac12 \qquad & \qquad \sin^2\alpha = s^2_\alpha &= \dots \\ \cos \alpha = c_\alpha &= \tfrac{\sqrt3}{2} \qquad & \qquad \cos^2\alpha = c^2_\alpha &= \dots \\ \tan \alpha = t_\alpha &= \dots \qquad & \qquad \sin(2\alpha) = s_{2\alpha} &= \dots \end{align*}

Die Wurfparabel ist:

\[y(x)= -\tfrac{g}{2v^2 c^2_\alpha}x^2 + t_\alpha x\]

Zeigen Sie durch Einsetzen, dass man für die gegebenen Größen erhält:

\[y(x) = - \tfrac{20}{3 v^{2}} x^{2} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} + \tfrac{\sqrt{3}}{3} x\]

Lösung

\[\begin{split}s_\alpha &= \tfrac{1}{2} \\ s^2_\alpha &= \tfrac{1}{4} \\ c_\alpha &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\ c^2_\alpha &= \tfrac{3}{4} \\ t_\alpha &= \tfrac{\sqrt{3}}{3} \\ s_{2\alpha} &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{split}\]

Einsetzen liefert:

\[\begin{split}y &= -\tfrac{10\cdot 4}{2v^2 3} x^2 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} + \tfrac{\sqrt{3}}{3} x \\ &= -\tfrac{20}{v^2 3} x^2 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} + \tfrac{\sqrt{3}}{3} x\end{split}\]

b) Anfangsgeschwindigkeit

Berechnen Sie \(v > 0\), sodass die Punktmasse durch P fliegt, sodass:

\[y(x=x_P) = - h\]

Zeigen Sie, dass:

\[v \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}69 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

Lösung

Die Wurfparabel ist:

\[y= -\tfrac{g}{2v^2 c^2_\alpha}x^2 + t_\alpha x\]

Dies auflösen nach \(v^2\) liefert:

\[v^2 = \tfrac{- g x^2}{2 c^2_\alpha \left( y - t_\alpha x \right)}\]

Einsetzen von \(y(x=x_P) = - h\) liefert:

\[\begin{split}v^2 &= \tfrac{- g x_P^2}{2 c^2_\alpha \left( -h - t_\alpha x_P \right)} \\ &= \tfrac{\tfrac 1 2 g x_P^2}{h c^2_\alpha + x_P t_\alpha c^2_\alpha }\end{split}\]

Für \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) und \(v > 0\) und \(h > 0\) liefert das:

\[v = \tfrac{\sqrt 2}{2}\sqrt{\tfrac{g x_P^2}{h c^2_\alpha + x_P t_\alpha c^2_\alpha }}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[v \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}69 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

c) Höchste Position

Für den höchsten Punkt M der Flugbahn bei \((x_M, y_M)\) gilt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_{2\alpha}\\ s^2_\alpha \end{bmatrix} \tfrac{1}{2g}v^2\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}951 \\ 0{,}275 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der Größen liefert das.

d) Winkel für minimale Anfangsgeschwindigkeit

Für die gegebenen Größen \(h\) und \(x_P\): Berechnen Sie den Winkel \(\alpha^*\), sodass die Anfangsgeschwindigkeit \(v>0\) minimal ist , und zwar in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01.\)

Hinweis

Berechnen Sie:

\[v^2(\alpha) = \dots\]

Und suchen Sie das \(\alpha^*\), für das \(v^2\) minimal wird, mit der dafür notwendigen Bedingung:

\[\tfrac{\mathrm d (v^2)}{\mathrm d \alpha} = 0\]

Lösung

Das Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit ist bekannt von weiter oben:

\[v^2(\alpha) = \tfrac{\tfrac 1 2 g x_P^2}{h c^2_\alpha + x_P t_\alpha c^2_\alpha }\]

Wegen \(v>0\) ist \(v\) minimal genau dann wenn \(v^2\) minimal ist. Notwendige Bedingung hierfür ist:

\[\tfrac{d}{d\alpha} \left\{ \tfrac{\tfrac 1 2 g x_P^2}{h c^2_\alpha + x_P t_\alpha c^2_\alpha } \right\} = 0\]

Ableiten nach \(\alpha\) liefert:

\[\begin{split}\tfrac12 g {x_P}^2 \left\{x_P(-s^2_{\alpha} + c^2_{\alpha} ) + h (- 2 c_{\alpha} s_{\alpha})\right\} &= 0 \\ x_P c_{2\alpha} - h s_{2\alpha} &= 0 \\ t_{2\alpha} &=\tfrac{x_P}{h} \\ &= 3\end{split}\]

Diese Ableitung auswerten bei \(\alpha^*\) liefert:

\[t_{2\alpha^*} = 3\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\alpha^* \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 35{,}78^\circ\]

Bemerkung

Hiermit ergibt sich als Anfangsgeschwindigkeit:

\[v^* \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}65 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

e) Ground Speed

Berechnen Sie:

\(v_h\), den horizontalen Anteil der Geschwindigkeit für Startwinkel \(\alpha=30^\circ\),
\(v_h^*\), den horizontalen Anteil der Geschwindigkeit für Startwinkel \(\alpha^*\),
\(t\), die Flugdauer für Startwinkel \(\alpha=30^\circ\),
\(t^*\), die Flugdauer für Startwinkel \(\alpha^*\).

Lösung

\[\begin{split}v_h &= v \cos 30^\circ \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}06 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ v_h^* &= v^* \cos \alpha^* \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}77 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ t &= \tfrac{x_P}{v_h} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}64 \,\mathrm s \\ t^* &= \tfrac{x_P}{v_h^*} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}80 \,\mathrm s \\\end{split}\]

f) Wurfparabeln

Zeichnen Sie die Wurfparabeln für Startwinkel \(\alpha\) und für Startwinkel \(\alpha^*\).

Lösung

3.1.3.C

Um auf einer geraden Bahn zu fliegen mit Startwinkel \(\alpha=\arctan \tfrac{-1}{3} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -18{,}43^\circ\), müsste die Anfangsgeschwindigkeit unendlich groß sein.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

import pickle

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import tan, atan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

alpha, g = symbols("alpha, g")
h, xP = symbols("h, xP", positive=True)
x, xi, v = symbols("x, xi, v", positive=True)

sub_list=[
    ( alpha , 30 *deg     ),
    ( g     , 10 *m/s**2  ),
    ( h     ,  1 *m       ),
    ( xP    ,  3 *m       ),
    ]

# Shortcuts:
sa, ca, ta = sin(alpha), cos(alpha), tan(alpha)
ss, ca2, s2a = sa*sa, ca*ca, sin(2*alpha)

pprint("\ny(x):")
y = -g/2/v/v/ca2 *x*x + ta*x
pprint(y)
tmp = y.subs(sub_list)
pprint(tmp)

pprint("\nv / (m/s):")
nom = g*xP*xP
den = h*ca2 + xP*ta*ca2
va = sqrt(2)/2 * sqrt(nom/den)
printout(va, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n(xM, zM) / m:")
rM= Matrix([s2a, ss])
rM *= va*va/2/g
printout(rM, unit=m, prec=3, sub_list=sub_list)

pprint("\nα* / deg:")
alphas = half*atan(xP/h)
printout(alphas, unit=deg, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nv / (m/s) for α*:")
# Shortcuts:
sb, cb, tb = sin(alphas), cos(alphas), tan(alphas)
ss, cb2, s2b = sb*sb, cb*cb, sin(2*alphas)
den = h*cb2 + xP*tb*cb2
vas = sqrt(2)/2 * sqrt(nom/den)
printout(vas, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)


pprint("\nvₕ / (m/s) for α*:")
vhs = vas*cb
printout(vhs, unit=m/s, prec=2, sub_list=sub_list)

# Save to database:
db = {
    "sub_list": sub_list, 
    "alpha": alpha,
    "alphas": alphas, 
    "g": g, 
    "va": va,
    "vas": vas,
    "h": h,
    "xP": xP,
    }

pickle.dump( db, open( "db.pickle", "wb" ) )

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.