3.1.3.D

Gegeben

../../../../_images/3.1.3.D.png

Symbole:

\[m, p>0, \omega\qquad \varphi = \omega t, r(\varphi) = \tfrac{p}{1 - \cos\varphi}\qquad 0 < t \le 0{,}785\,\mathrm{s}, 0 < \varphi \le 180^\circ\]

Größen:

\[\begin{split}m &= 3\,\mathrm{kg} \\ p &= 2\,\mathrm{m} \\ \omega &= 4 \, \tfrac{1}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Eine Punktmasse mit Masse \(m\) bewegt sich auf einer Parabel über \(P_2\) und \(P_1\) nach \(P_0\).

a) Parabel-Gleichung (Kartesische Koordinaten)

Zeigen Sie mit den gegebenen Symbolen, dass die Gleichung der Parabel durch die drei Punkte \(P_2\) und \(P_1\) nach \(P_0\) lautet:

\[y(x)=\tfrac{1}{2p}x^2\]

Lösung

Die Parabel-Gleichung ist:

\[y(x)=\tfrac{1}{2p}x^2\]

Die drei Punkte sind bei \(x=0, x=p, x=2p\). Behauptung: Die Funktionswerte dort sind:

\[\begin{split}y(x = 0) &= 0 \\ y(x = p) &= \tfrac12 p \\ y(x = 2p) &= 2 p\end{split}\]

Beweis:

\[\begin{split}y(0) &= \tfrac{1}{2p}0^2 = 0 \\ y(p) &= \tfrac{1}{2p}p^2 = \tfrac12 p \\ y(2p) &= \tfrac{1}{2p}\left(2p\right)^2 = 2 p\end{split}\]

b) Parabel-Gleichung (Polarkoordinaten)

Sei:

\[\begin{split}x(r,\varphi) &= r s_\varphi \\ y(r,\varphi) &= \tfrac12 p + r \cos\varphi\end{split}\]

Zeigen Sie, dass dieselbe Parabel statt mit \(y(x)\) auch mit \(r(\varphi)\) beschrieben werden kann als:

\[r(\varphi)= \tfrac{p}{1 - \cos\varphi}\]

Lösung

Beweis: Einsetzen von \(y\) und \(x\) liefert:

\[\tfrac12 p + r \cos\varphi = \tfrac{1}{2p}r^2 \sin^2\varphi\]

Einsetzen von \(r\) liefert:

\[\begin{split}\tfrac12 p + \tfrac{p}{1 - c_\varphi} c_\varphi &= \tfrac{1}{2p}\left(\tfrac{p}{1 - c_\varphi}\right)^2 s_\varphi^2 \\ \tfrac12+ \tfrac{c_\varphi}{1 - c_\varphi} &= \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{1 - c_\varphi}\right)^2 \left(1 - c_\varphi^2\right) \\ \tfrac{\left(1 - c_\varphi\right) + 2 c_\varphi}{2\left(1 - c_\varphi\right)} &= \tfrac{1 - c_\varphi^2}{2\left(1 - c_\varphi\right)^2} \\ \left(1 - c_\varphi\right) + 2 c_\varphi &= \tfrac{1 - c_\varphi^2}{1 - c_\varphi} \\ 1 + c_\varphi &= \tfrac{1 - c_\varphi^2}{1 - c_\varphi} \\ 1 &= 1\end{split}\]

c) Position

Polarkoordinaten: Geben Sie die \((r,\varphi)\)-Komponenten \((r_r, r_\varphi)\) des Ortsvektors \(\boldsymbol r\) zur Punktmasse an , und zwar abhängig von \(r, p\) und \(\varphi\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Kartesische Koordinaten: Geben Sie die \((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol r\) an , und zwar abhängig von \(r, p\) und \(\varphi\).

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r \dots \\ \tfrac 1 2 p + \dots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Komponenten des Ortsvektors \(\boldsymbol r = r \boldsymbol e_r\) bei Polarkoordinaten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_r \\ r_\varphi \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r \\ 0 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Komponenten des Ortsvektors bei Kartesischen Koordinaten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r s_\varphi \\ \tfrac12 p + r \cos\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

d) Geschwindigkeit

Polarkoordinaten: Berechnen Sie damit die \((r, \varphi)\)-Komponenten \((v_r, v_\varphi)\) des Geschwindigkeitsvektors der Punktmasse für die gegebenen Symbole:

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \end{bmatrix} =\omega p \begin{bmatrix} - \tfrac{ \sin \varphi}{\left(\cos\varphi - 1\right)^{2}} \\ - \tfrac{1}{\cos\varphi - 1} \end{bmatrix}\end{split}\]

Kartesische Koordinaten: Berechnen Sie damit die \((x, y)\)-Komponenten \((v_x, v_y)\) des Geschwindigkeitsvektors der Punktmasse für die gegebenen Symbole:

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = \omega p \begin{bmatrix} \tfrac{1}{\cos\varphi - 1}\\ - \tfrac{\sin\varphi}{\left(\cos\varphi - 1\right)^{2}} \end{bmatrix}\end{split}\]

Zeigen Sie außerdem, dass \(\forall t\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v_\varphi \\ v_r \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Die \((r,\varphi)\)-Komponenten erhält man mit Berechnung von \(\dot{r}\) und mit Einsetzen von \(r\) als:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_r \\ v_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot{r}\\ r \omega \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \tfrac{\omega p s_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \\ \tfrac{p}{1 - c_\varphi} \omega \end{bmatrix} \\ &= \omega p \begin{bmatrix} - \tfrac{s_\varphi}{\left(c_\varphi - 1\right)^{2}} \\ - \tfrac{1}{c_\varphi - 1} \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Zeitableitung von \(r\):

\[\dot r = - \tfrac{\omega p s_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2}\]

Zeitableitung der Basisvektoren:

\[\begin{split}\dot{\boldsymbol e_r} &= \omega \boldsymbol e_\varphi \\ \dot{\boldsymbol e_\varphi} &= - \omega \boldsymbol e_r\end{split}\]

Zeitableitung vom Ortsvektor \(\boldsymbol r\) ist der Geschwindigkeitsvektor:

\[\boldsymbol v = \dot{\boldsymbol r} = \dot r \boldsymbol e_r + r \dot{\boldsymbol e_r}\]

Die \((x,y)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot x \\ \dot y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \left( r s_\varphi \right)\!\dot{\vphantom{I}} \\ \left( \tfrac12 p + r c_\varphi \right)\!\dot{\vphantom{I}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dot{r} s_\varphi + r \omega c_\varphi\\ \dot{r} c_\varphi - r \omega s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

Hier sieht man, dass:

\[\begin{split}\boldsymbol v &= \dot{r} \boldsymbol e_r + r\omega \dot{\boldsymbol e_\varphi} \\ \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= \dot{r} \begin{bmatrix} s_\varphi\\ c_\varphi \end{bmatrix} + r \omega \begin{bmatrix} c_\varphi\\ s_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Weiteres Ausrechnen liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \tfrac{\omega p s_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2}s_\varphi + \tfrac{p}{1 - c_\varphi} \omega c_\varphi\\ - \tfrac{\omega p s_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2}c_\varphi - \tfrac{p}{1 - c_\varphi} \omega s_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \omega p \begin{bmatrix} - \tfrac{s^2_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} + \tfrac{c_\varphi}{1 - c_\varphi} \\ - \tfrac{s_\varphi c_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} - \tfrac{s_\varphi}{1 - c_\varphi} \end{bmatrix} \\ &= \omega p \begin{bmatrix} - \tfrac{s^2_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} + \tfrac{c_\varphi\left( 1 - c_\varphi \right)}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \\ - \tfrac{s_\varphi c_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} - \tfrac{s_\varphi\left( 1 - c_\varphi \right)}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \end{bmatrix} \\ &= \omega p \begin{bmatrix} \tfrac{- s^2_\varphi + c_\varphi\left( 1 - c_\varphi \right)}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \\ \tfrac{- s_\varphi c_\varphi - s_\varphi\left( 1 - c_\varphi \right)}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \end{bmatrix} \\ &= \omega p \begin{bmatrix} \tfrac{- (s^2_\varphi +c^2_\varphi) + c_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \\ \tfrac{- s_\varphi}{\left(c_\varphi - 1\right)^{2}} \end{bmatrix} \\ &= \omega p \begin{bmatrix} \tfrac{c_\varphi - 1}{\left( c_\varphi - 1 \right)^2} \\ \tfrac{- s_\varphi}{\left(c_\varphi - 1\right)^{2}} \end{bmatrix} \\ &= \omega p \begin{bmatrix} \tfrac{1}{c_\varphi - 1}\\ - \tfrac{s_\varphi}{\left(c_\varphi - 1\right)^{2}} \end{bmatrix}\end{split}\]

Weiterhin liest man ab, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v_\varphi \\ v_r \end{bmatrix}\end{split}\]

e) Beschleunigung

Der Beschleunigungsvektor ist definiert als:

\[\boldsymbol a = \dot{\boldsymbol v}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\ddot r = \omega^{2} p \tfrac{\cos\varphi + 2}{\left(\cos\varphi - 1\right)^{2}}\]

Berechnen Sie damit die \((r, \varphi)\)-Komponenten des Beschleunigungsvektors \(\boldsymbol a\) für die gegebenen Symbole. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \end{bmatrix} = \omega^2 p \begin{bmatrix} \tfrac{2 \cos\varphi + 1}{\left(\cos\varphi - 1\right)^2} \\ - \tfrac{2\sin\varphi}{\left(\cos\varphi - 1\right)^{2}} \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\((r,\varphi)\)-Komponenten des Beschleunigungsvektors:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_r \\ a_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ddot{r} - r \omega^2\\ 2 \dot{r}\omega \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \omega^2 p \tfrac{c_\varphi + 2}{\left(c_\varphi - 1\right)^2} - \tfrac{p}{1 - c_\varphi} \omega^2 \\ - 2 \tfrac{\omega p s_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2}\omega \end{bmatrix} \\ &= \omega^2 p \begin{bmatrix} \tfrac{c_\varphi + 2}{\left(c_\varphi - 1\right)^2} + \tfrac{c_\varphi-1}{\left(c_\varphi - 1\right)^2}\\ - \tfrac{2s_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \end{bmatrix} \\ &= \omega^2 p \begin{bmatrix} \tfrac{2c_\varphi + 1}{\left(c_\varphi - 1\right)^2} \\ - \tfrac{2s_\varphi}{\left(c_\varphi - 1\right)^{2}} \end{bmatrix}\end{split}\]

Hinweis

\(\ddot r\) ist die zeitliche Ableitung von \(\dot r\), also:

\[\begin{split}\ddot r &= \left( -\tfrac{\omega p s_\varphi}{\left( 1 - c_\varphi \right)^2} \right) \!\dot{\vphantom{\Large X}} \\ &= \dots \\ &= \omega^{2} p \tfrac{\cos\varphi + 2}{\left(\cos\varphi - 1\right)^{2}}\end{split}\]

Beschleunigungsvektor:

\[\begin{split}\boldsymbol a &= \dot{\boldsymbol v} \\ &= \ddot{r} \boldsymbol e_r + \dot{r}\omega\boldsymbol e_\varphi + \omega \left( \dot{r} \boldsymbol e_\varphi - r \omega \boldsymbol e_r \right) \\ &= \left(\ddot{r} - r \omega^2 \right) \boldsymbol e_r + 2 \dot{r}\omega \boldsymbol e_\varphi\end{split}\]

wobei \(\omega\) zeitlich konstant ist.

f) Zeitpunkt für gegebene Position

Berechnen Sie für die gegebenen Größen:

  • den Zeitpunkt \(t_1\), bei dem die Masse am Punkt \(P_1\) ist und

  • den Zeitpunkt \(t_0\), bei dem die Masse am Punkt \(P_0\) ist.

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}t_1 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}393\,\mathrm{s} \\ t_0 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}785\,\mathrm{s}\end{split}\]

Lösung

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Sei:

  • \(\varphi_1 = \varphi(t_1) = 90^\circ = \tfrac{\pi}{2}\)

  • \(\varphi_2 = \varphi(t_2) = 180^\circ = \pi\)

Die hierzu passenden Zeitpunkte sind wegen \(\varphi = \omega t\):

\[\begin{split}t_1 &= \tfrac{\varphi_1}{\omega}\\ &= \tfrac{\pi}{2\omega} \\ t_0 &= \tfrac{\pi}{\omega}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}t_1 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}393\,\mathrm{s} \\ t_0 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}785\,\mathrm{s}\end{split}\]

g) Geschwindigkeit und Beschleunigung bei \(P_1\)

Sei

  • \(\boldsymbol v_1\) der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt \(t=t_1\).

  • \(\boldsymbol a_1\) der Beschleunigungsvektor zum Zeitpunkt \(t=t_1\).

Zeigen Sie, dass für die gegebenen Größen gilt:

  • Die \((r,\varphi)\)-Komponenten von \(\boldsymbol v_1\) sind:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{1r} \\ v_{1\varphi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 8 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

  • Die \((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol v_1\) sind:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{1x} \\ v_{1y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ -8 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

  • Die \((r,\varphi)\)-Komponenten von \(\boldsymbol a_1\) sind:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{1r} \\ a_{1\varphi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 32 \\ -64 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Lösung

Für die gegebenen Größen ist \(\omega^2 p=16\,\tfrac{1}{\mathrm{s}^2} \cdot 2\,\mathrm{m} = 32\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.\) Einsetzen von \(\varphi=90^\circ\) und \(\sin\varphi=1\) und \(\cos\varphi=0\) liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{1r} \\ v_{1\varphi} \end{bmatrix} &= \omega p \begin{bmatrix} - \tfrac{s_\varphi}{\left(c_\varphi - 1\right)^{2}} \\ - \tfrac{1}{c_\varphi - 1} \end{bmatrix} \\ &= 8 \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{\left(0 - 1\right)^{2}} \\ - \tfrac{1}{0 - 1} \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ &= \begin{bmatrix} -8 \\ 8 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ \\ \begin{bmatrix} v_{1x} \\ v_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -8 \\ -8 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ \\ \begin{bmatrix} a_{1r} \\ a_{1\varphi} \end{bmatrix} &= \omega^2 p \begin{bmatrix} \tfrac{2c_\varphi + 1}{\left(c_\varphi - 1\right)^2} \\ - \tfrac{2s_\varphi}{\left(c_\varphi - 1\right)^{2}} \end{bmatrix} \\ &= 32\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \begin{bmatrix} \tfrac{1}{1} \\ - \tfrac{2}{1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 32 \\ -64 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

h) Richtung der Geschwindigkeitsvektors

Berechnen Sie den Einheitsvektor \(\boldsymbol e_1\), welcher bei \(P_1\) tangential an die Bahn in Richtung \(\boldsymbol v_1\) zeigt, also:

\[\boldsymbol e_1 = \tfrac{1}{\lVert\boldsymbol v_1\rVert}\boldsymbol v_1\]

Berechnen die \((r,\varphi)\)-Komponenten dieses Einheitsvektors für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1r} \\ e_{1\varphi} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} \begin{bmatrix} - 0{,}707 \\ 0{,}707 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Einheitsvektor in Richtung \(\boldsymbol v_1\):

\[\boldsymbol e_1 = \tfrac{1}{\lVert\boldsymbol v_1\rVert}\boldsymbol v_1\]

Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1r} \\ e_{1\varphi} \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\sqrt{v_{1r}^2 + v_{1\varphi}^2}} \begin{bmatrix} v_{1r} \\ v_{1\varphi} \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{ (-8)^2 + 8^2}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}} \begin{bmatrix} -8 \\ 8 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ &= \tfrac{1}{8\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -8 \\ 8 \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} \begin{bmatrix} - 0{,}707 \\ 0{,}707 \end{bmatrix}\end{split}\]

i) Bahnbeschleunigung

Berechnen Sie die Bahnbeschleunigung \(a_{t1}\) bei \(P_1\), also die Beschleunigung tangential an die Bahn in Richtung \(\boldsymbol v_1\). Und zwar für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[a_{t1} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -67{,}88 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\]

Lösung

Die Bahnbeschleunigung \(a_{t1}\) ist die Komponente von \(\boldsymbol a_1\) in \(\boldsymbol e_1\)-Richtung, also:

\[a_{t1} = \boldsymbol a_1 \cdot \boldsymbol e_1\]

Berechnung über Matrix-Multiplikation:

\[\begin{split}a_{t1} &= \begin{bmatrix} a_{1r} & a_{1\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1r} \\ e_{1\varphi} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 32 & -64 \end{bmatrix} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \, \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left(-32 - 64\right) \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ &= \tfrac{-96}{\sqrt{2}} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -67{,}88 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

g) Führungskraft

Berechnen Sie die Kraft \(F_{t1}\), die bei \(P_1\) tangential an die Bahn in Richtung \(\boldsymbol v_1\) auf die Masse wirken muss, um die Masse wie vorgegeben zu bewegen - also den tangentialen Anteil der Führungskraft. Und zwar für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[F_{t1} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -203{,}65\,\mathrm{N}\]

Lösung

Tangentialkomponente der Führungskraft:

\[\begin{split}F_{t1} &= m a_{t1} \\ &= 3 \,\mathrm{kg} \cdot \tfrac{-96}{\sqrt{2}} \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -203{,}65\,\mathrm{N}\end{split}\]

Die Masse muss also abgebremst werden.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec3 = 3
prec2 = 2

# Hibbeler 2.109:
# g = 9.81 *m/s/s
# M = 30 *Newton/g
# p = 2 *m
# w = 4 /s

M, p, w = symbols("M, p, omega", positive=True)
t = symbols("t")
cp, sp = cos(w*t), sin(w*t)
r = p/(1 - cp)

rpm = diff(r,t).simplify()

# Given quantities:
sub_list = [
    (M, 3 *kg),
    (p, 2 *m),
    (w, 4 /s)
    ]

# C = Cartesian Coordinates:
pprint("\nvC:")
x = r*sp
y = p/2 + r*cp
vx, vy = diff(x,t).simplify(), diff(y,t).simplify()
vC = Matrix([vx,vy])
pprint(vC)
vC = vC.subs(sub_list)
pprint("\nvC / (m/s):")
pprint(vC / (m/s))

# P = Polar Coordinates:
pprint("\nvP:")
vr, vp = rpm, (r*w).simplify()
vP = Matrix([vr,vp])
pprint(vP)
vP = vP.subs(sub_list)
pprint("\nvP / (m/s):")
pprint(vP / (m/s))

pprint("\nt1 / s:")
t1 = 90*pi/180 /w
printout(t1, unit=s, prec=prec3, sub_list=sub_list)

pprint("\nt0 / s:")
t0 = 180*pi/180 /w
printout(t0, unit=s, prec=prec3, sub_list=sub_list)

# Check if vx = -vp and vy = vr:
# pprint(vx.equals(-vp))
# pprint(vy.equals(vr))

pprint("\nvC1 / (m/s):")
vC1 = vC.subs(t,t1)
printout(vC1, unit=m/s, prec=0, sub_list=sub_list)

pprint("\nvP1 / (m/s):")
vP1 = vP.subs(t,t1)
printout(vP1, unit=m/s, prec=0, sub_list=sub_list)

pprint("\naC:")
ax, ay = diff(vx,t).simplify(), diff(vy,t).simplify()
aC = Matrix([ax,ay])
pprint(aC)

pprint("\naP:")
ar, ap = diff(rpm,t).simplify() - r*w*w, (2*w*rpm)
ar, ap = ar.simplify(), ap.simplify()
aP = Matrix([ar,ap])
pprint(aP)

pprint("\naP1 / (m/s²):")
aP1 = aP.subs(t,t1)
tmp = aP1.subs(sub_list)
tmp /= m/s**2
pprint(tmp)

# Unit vector along v1:
pprint("\neC1:")
eC1 = vC1/vC1.norm()
tmp = eC1.subs(sub_list)
pprint(tmp)
printout(eC1, unit=1, prec=prec3, sub_list=sub_list)

pprint("\neP1:")
eP1 = vP1/vP1.norm()
tmp = eP1.subs(sub_list)
pprint(tmp)
printout(eP1, unit=1, prec=prec3, sub_list=sub_list)

# Acceleration along e1:
pprint("\nat1 / (m/s²):")
aC1 = aC.subs(t,t1)
at = aC1.dot(eC1)
printout(at, unit=m/s**2, prec=prec2, sub_list=sub_list)
at = aP1.dot(eP1)
printout(at, unit=m/s**2, prec=prec2, sub_list=sub_list)

pprint("\nFt1 / N:")
Ft = M * at
printout(Ft, unit=N, prec=prec2, sub_list=sub_list)

# FP = M * aP1
# pprint("FP:")
# pprint(N(FP,3))

# Ft = M * at
# pprint(N(Ft.subs(sub_list),4))

# pprint("\nFCt:")
# FCt = M * at * eC1
# pprint(N(FCt,3))
# pprint("|FCt|:")
# pprint(N(FCt.norm(),3))

# pprint("\nFCn:")
# FCn = FC - FCt
# pprint(N(FCn,3))
# pprint("|FCn|:")
# pprint(N(FCn.norm(),3))

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.