3.1.3.E

Gegeben

Die Strecke hat eine Steigung von \(6\,\%\). Auf z.B. \(1000 \, \mathrm{m}\) horizontal nach rechts ist der Höhengewinn \(h\) damit:

\[\begin{split}h &= 6\, \cdot 1000 \, \mathrm{m} \\ &= 0{,}06 \cdot 1000\,\mathrm{m} \\ &= 60 \,\mathrm{m}\end{split}\]
Die Punktmasse \(m\) bewegt sich reibungsfrei auf der geneigten Geraden im Schwerefeld.
\(t\) ist die Zeit.
\(x\) ist die Position von \(m\), wobei \(x(t=0\,\mathrm{s})=0\,\mathrm{m}\).
\(v\) ist die Geschwindigkeit von \(m\), wobei \(v(t=0\,\mathrm{s})=100\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\).
\(a\) ist die Beschleunigung von \(m\).
\(g = 9{,}81 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) ist die Fallbeschleunigung.

a) Geometrie

Berechnen Sie den Winkel \(\alpha\). Zeigen Sie, dass:

\[\alpha \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}434^\circ\]

Lösung

\[\begin{split}\tan \alpha &= 6 \% \\ &= 0{,}06 \\ \\ \alpha &=\arctan{} 0{,}06 \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}434^\circ\end{split}\]

b) Beschleunigung

Berechnen Sie die Beschleunigung \(a\) der Masse. Zeigen Sie, dass:

\[a \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} - 0{,}588 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\]

Lösung

Die Gewichtskraft \(mg\) wirkt auf die Masse in Richtung nach unten.
Die \((x,y)\)-Komponenten dieser Gewichtskraft sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - mg s_\alpha \\ mg c_\alpha \\ \end{bmatrix}\end{split}\]
Schwerpunktsatz in Richtung \(x\):

\[\begin{split}m \ddot x = m a &= - m g s_\alpha \\ a &= - g s_\alpha \\ &= - g \tfrac{6}{\sqrt{6^2 + 100^2}} \\ &= - g \cdot 0{,}0598922907\ldots \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} - 0{,}588 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]
Schwerpunktsatz in Richtung \(y\):

\[\begin{split}m \ddot y = 0 &= m g c_\alpha - N \\\end{split}\]

Details

Die Beschleunigung in Richtung \(x\) ist konstant und negativ. Die Geschwindigkeit \(v\) in Richtung \(x\) wird kleiner - und schließlich negativ.

Die Beschleunigung in Richtung \(y\) ist null, weil die Masse nicht in den Boden eindringen kann. Das Eindringen wird verhindert durch die Kraft \(N\), die vom Boden auf die Punktmasse wirkt.

c) Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt

Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v\) der Masse zum Zeitpunkt \(t=10\,\mathrm{s}\). Zeigen Sie, dass:

\[v(10\,\mathrm{s}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 21{,}902\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Lösung

\(v(0\,\mathrm{s})=100\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) ist die gegebene Anfangsgeschwindigkeit.

Integration und Einsetzen der Anfangsgeschwindigkeit und der eben berechneten konstanten Beschleunigung \(a\) führt auf:

\[\begin{split}\dot v &= a \\ v(10\,\mathrm{s}) - v(0\,\mathrm{s}) &= \int_{t=0\,\mathrm{s}}^{10\,\mathrm{s}} a \,{\mathsf d} t \\ v(10\,\mathrm{s}) &= 100\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} + a \left( 10\,\mathrm{s} - 0\,\mathrm{s} \right) \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 21{,}902\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

d) Geschwindigkeit an einer Position

Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Masse bei \(x = x^\ast = 100\,\mathrm{m}\). Zeigen Sie, dass:

\[v(x^\ast=100\,\mathrm{m}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 25{,}575 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

Lösung

\[x(t) = v_0 t + \tfrac 1 2 a t^2\]

Zeitpunkt \(t^\ast\), für den \(x=x^\ast\):

\[x^\ast = v_0 t^\ast + \tfrac 1 2 a {t^\ast}^2\]

Einsetzen von:

\(x^\ast=100 \,\mathrm{m}\)
\(v_0=100 \,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)
\(a = - g s_\alpha\)

in diese quadratische Gleichung für \(t^\ast\) führt auf zwei Zeitpunkte, für die \(x=x^\ast\):

\[\begin{split}t^\ast_1 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}749 \,\mathrm{s} \\ t^\ast_2 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 90{,}807 \,\mathrm{s}\end{split}\]

Jetzt das gefundene \(t^\ast_1\) einsetzen in die Funktion \(v(t)\):

\[\begin{split}v(t^\ast_1) &= v(x^\ast=100 \,\mathrm{m}) \\ &= v_0 + a t^\ast_1 \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 25{,}575 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Bemerkung

Zum Zeitpunkt \(t=t^\ast_2\) ist die Masse erneut bei \(x^\ast=100 \,\mathrm{m}\) - nämlich nach ihrer Umkehr am oberen Umkehrpunkt. Sie hat dann die Geschwindigkeit:

\[v(t^\ast_2) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} -25{,}575 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\]

D.h. sie bewegt sich genauso schnell wie vorher an derselben Stelle - nur in die entgegengesetzte Richtung - nämlich nach unten.

e) Funktionen

Zeichnen Sie für das Zeit-Intervall \(0 \,\mathrm{s} \le t \le 91\,\mathrm{s}\) die drei dimensionslosen Funktionen:

\(x \,/\, \mathrm{m}\): Position in \(\mathrm{m}\) (Meter).
\(10\cdot v \,/\, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\): 10 mal Geschwindigkeit in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) (Meter pro Sekunde).
\(100 \cdot a \,/\, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\): 100 mal Beschleunigung in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) (Meter pro Quadratsekunde).

Lösung

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

import pickle

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import atan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec = 3

h = 3600 *s
kmh = k*m/h

alpha = atan(S(6)/100)
grav = S(981)/100 *m/s**2
v0 = 100 *kmh

pprint("\nα / deg:")
printout(alpha, unit=deg, prec=prec, sub_list=[])

pprint("\na / (m/s²):")
a = - grav*sin(alpha)
printout(a, unit=m/s**2, prec=prec, sub_list=[])

pprint("\nv(10s) / (m/s):")
v10 = v0 + a*10 *s
printout(v10, unit=m/s, prec=prec, sub_list=[])

pprint("\nt1 / s, t2 / s:")
t = symbols("t", positive=True)
eq = Eq(100 *m, v0 * t + a/2*t*t)
sol = solve(eq,t)
t1s, t2s = sol[0], sol[1]

printout(t1s, unit=s, prec=prec, sub_list=[])
printout(t2s, unit=s, prec=prec, sub_list=[])

pprint("\nv(t1) / (m/s):")
vt1s = v0 + a*t1s
printout(vt1s, unit=m/s, prec=prec, sub_list=[])

pprint("\nv(t2) / (m/s):")
vt2s = v0 + a*t2s
printout(vt2s, unit=m/s, prec=prec, sub_list=[])

a = - grav*sin(alpha)
v = v0 + a*t
x = v0*t + a*t*t/2
ts = t / s

# Save to database:
db = {
    "ts": ts, 
    "a": a, 
    "v": v,
    "x": x, 
    }

pickle.dump( db, open( "db.pickle", "wb" ) )

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.