3.3.B

Gegeben

Symbole:

\[r, \omega_1 > 0\]

Über drei starre Scheiben 1, 2, 3 sind Seile gelegt.
Scheibe 2 kann sich nur drehen.
Scheibe 1 und Scheibe 3 bewegen sich vertikal, während sie sich drehen.

Im betrachteten Zeitpunkt gilt:

Scheibe 1 dreht sich mit der gegebenen Winkelgeschwindigkeit \(\omega_1 > 0.\)
Teilchen P bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v_P > 0\) nach unten.

a) Geschwindigkeiten der Mittelpunkte von 1 und 3

Berechnen Sie die Geschwindigkeiten:

\(v_1\), mit der sich der Mittelpunkt von 1 nach oben bewegt und
\(v_3\), mit der sich der Mittelpunkt von 3 nach unten bewegt.

\[\begin{split}v_1 (r, \omega_1) &= \\ v_3 (r, \omega_1) &=\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}v_1 &= r \omega_1 \\ v_3 &= v_1 \\ &= r \omega_1 \\\end{split}\]

Details

Der Momentanpol von 1 ist links am Rand von 1 - also auf der 9-Uhr-Position. Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_1\) ist darum auch an dieser Position eingezeichnet. 1 dreht sich im betrachteten Moment um diesen 9-Uhr-Punkt.
Der Betrag der Geschwindigkeit \(v_1\) eines Teilchens am Mittelpunkt von 1 ist gleich Abstand vom Momentanpol mal Winkelgeschwindigkeit.
1. Abstand ist \(r\).
2. Winkelgeschwindigkeit ist \(\omega_1\).
3. Produkt ist \(v_1 = r \omega_1\).
Die Richtung kann man mit der 3-Finger-Regel mit der rechten Hand ermitteln:
1. Daumen in Richtung Winkelgeschwindigkeitsvektor (hier senkrecht zur Blattebene und zum Betrachter).
2. Zeigefinger vom Momentanpol zum Teilchen (hier von links nach rechts).
3. Mittelfinger zeigt Richtung (hier nach oben).
Die zugrunde liegende Formel ist:

\[\boldsymbol v_2 = \boldsymbol v_1 + \boldsymbol \omega \times \boldsymbol d_{12}\]

mit:
- \(\boldsymbol v_1\): Geschwindigkeit eines Teilchens 1 auf einem Starrkörper.
- \(\boldsymbol v_2\): Geschwindigkeit eines anderen Teilchens 2 auf demselben Starrkörper.
- \(\boldsymbol d_{12}\): Vektor von 1 nach 2.
- \(\boldsymbol \omega\): Winkelgeschwindigkeit des Starrkörpers.
\(v_3=v_1\), weil beide Teilchen auf demselben Seil liegen. Auf dem linken Teil des Seils bewegen sich die Teilchen aufwärts - und auf dem rechten Teil abwärts.

b) Geschwindigkeit von Q

Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v_Q\), mit der sich das Teilchen Q nach oben bewegt.

Lösung

Ein Teilchen auf der 3-Uhr-Position von Körper 1 hat dieselbe Geschwindigkeit (nach oben) wie ein Teilchen auf der 9-Uhr-Position von Körper 3. Und auch alle Teilchen auf dem Seil zwischen diesen Teilchen hat diese Geschwindigkeit.

\[v_Q = 2 r \omega_1\]

c) Momentanpol von 3

Bestimmen Sie (zeichnerisch oder rechnerisch) die Lage des Momentanpols von 3. Verwenden Sie \(v_Q\) und \(v_3\). Zeigen Sie, dass der Momentanpol \(\tfrac23 r\) rechts von Q liegt.

Lösung

d) Winkelgeschwindigkeit von 3

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_3\), mit der sich 3 im Uhrzeigersinn dreht.

Lösung

\[\begin{split}v_3 &= \omega_3 \tfrac13 r\\ \omega_3 &= \tfrac{3 v_3}{r} \\ &= \tfrac{3 r \omega_1}{r} \\ &= 3 \omega_1\end{split}\]

e) Geschwindigkeit von P

Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v_P\) abhängig von den gegebenen Symbolen:

\[v_P(r,\omega_1) = \dots\]

und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\) für die Größen:

\[\begin{split}r&=\tfrac14 \,\mathrm{m} \\ \omega_1 &= 2 \pi \,\tfrac{1}{\mathrm s}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass für diese Größen gilt:

\[v_P \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}28 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

Lösung

\[\begin{split}v_P &= \tfrac 4 3 r \omega_3 \\ &= \tfrac 4 3 r 3 \omega_1 \\ &= 4 r \omega_1\end{split}\]

Mit Größen:

\[\begin{split}v_P &= 4 \cdot \tfrac14 \,\mathrm{m} \cdot 2 \pi \,\tfrac{1}{\mathrm s} \\ &= 2 \pi \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}28 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]