3.3.C

Gegeben

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Symbole:

\[a, v_A\]

  • Ein Stab befindet sich zum betrachteten Zeitpunkt in der dargestellten Lage.

  • Das Teilchen A bewegt sich horizontal nach rechts mit der gegebenen Geschwindigkeit \(v_A\).

  • Das Teilchen B kann sich nur vertikal bewegen.

  • Für die Winkelposition \(\varphi\) des Stabs gilt \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ.\)

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Stabs und die Geschwindigkeit von B (zum betrachteten Zeitpunkt). Gehen Sie wie folgt vor:

a) Position von A

Berechnen Sie \((x,y)\)-Komponenten abhängig von \(\varphi\).

  • Ortsvektor \(\boldsymbol r_A\) von O nach A:

    \begin{align} \label{eq-3.3.C-1}\tag{1} \begin{bmatrix} x_A\\ y_A \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \\ \end{bmatrix} \end{align}

  • Ortsvektor \(\boldsymbol r_B\) von O nach B:

    \begin{align} \label{eq-3.3.C-2}\tag{2} \begin{bmatrix} x_B\\ y_B \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \\ \end{bmatrix} \end{align}

Lösung

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\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_A\\ y_A \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a s_{\varphi} \\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_B\\ y_B \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ a c_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Für trigonometrische Funktionen wurden Abkürzungen verwendet, siehe Trig. Funktionen.

b) Geschwindigkeiten von A und B

Berechnen Sie die Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren von A und B aus (1) bzw. (2). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Ax} \\ v_{Ay} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a c_{\varphi} \,\dot\varphi\\ 0 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} v_{Bx} \\ v_{By} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ - a s_{\varphi} \, \dot\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Ax} \\ v_{Ay} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot{x_A}\\ \dot{y_A} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a c_{\varphi} \,\dot\varphi\\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} v_{Bx} \\ v_{By} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dot{x_B}\\ \dot{y_B} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ - a s_{\varphi} \, \dot\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

Details

  • Ortsvektor dargestellt im kartesischen Koordinatensystem:

    \[\begin{split}\boldsymbol r &= x \boldsymbol e_x + y \boldsymbol e_y\\ \boldsymbol v &= \dot x \boldsymbol e_x + x \dot{\boldsymbol e_x} + \dot y \boldsymbol e_y + y \dot{\boldsymbol e_y} \\\end{split}\]

  • Zeitableitung der kartesischen Basisvektoren ist Null: \(\dot{\boldsymbol e_x}=\dot{\boldsymbol e_y}=\boldsymbol 0\)

  • Die Geschwindigkeitsvektor-Komponenten sind (bei zeitunabhängigem Bezugssystem) die Zeitableitungen der Ortsvektor-Komponenten:

    \[\begin{split}\boldsymbol v &= \dot x \boldsymbol e_x + \dot y \boldsymbol e_y \\ &= v_x \boldsymbol e_x + v_y \boldsymbol e_y\end{split}\]

c) Winkelgeschwindigkeit

Zeichnen Sie den Momentanpol und die Zählrichtung für die Winkelgeschwindigkeit. Verwenden Sie auch die gegebene Geschwindigkeit \(v_{Ax}=v_A\).

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\dot\varphi\) als Funktion von \(\varphi\). Zeigen Sie, dass:

\[\dot \varphi = \tfrac{v_A }{a c_{\varphi} }\]

Lösung

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Der Abstand zwischen einem Teilchen bei A und dem Stab-Momentanpol ist \(a \cos\varphi\).

Damit gilt für die Geschwindigkeit eines Teilchens bei A:

\[v_A =\dot \varphi \cdot a \cos\varphi\]

Die Geschwindigkeit \(v_A\) ist gegeben, sodass die Winkelgeschwindigkeit \(\dot \varphi\) des Stabs ist:

\begin{align} \label{eq-3.3.C-3}\tag{3} \dot\varphi = \tfrac{v_A }{a c_{\varphi} } \end{align}

d) Geschwindigkeit von B

Verwenden Sie die Winkelgeschwindigkeit, und berechnen Sie damit die Geschwindigkeit von B abhängig von gegebenen Symbolen und \(\varphi\). Zeigen Sie, dass:

\[v_{By} = - v_A\tan\varphi\]

Lösung

Laut Skizze:

\[v_B = + as_{\varphi} \dot\varphi\]

Die \(y\)-Komponente dieser Geschwindigkeit ist:

\[v_{By} = - a s_{\varphi}\dot\varphi\]

Einsetzen von (3) liefert:

\[\begin{split}v_{By} &= - a s_{\varphi} \tfrac{v_A }{a c_{\varphi} }\\ &= - v_A\tan\varphi\end{split}\]