3.3.D

Gegeben

Symbole:

\[a, r, v_A\]

Ein Rad rollt auf dem Boden mit der gegebenen Schwerpunktgeschwindigkeit \(v_A\) nach rechts.
Ein Stab ist bei A mit dem Rad verbunden.
B kann sich nur vertikal bewegen.
Winkelposition des Stabs: \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ.\)

a) Momentanpole

Kennzeichnen Sie in einer Skizze:

den Momentanpol des Stabs und
den Momentanpol des Rads

Lösung

Details

Geschwindigkeiten sind relativ
- Die Geschwindigkeiten, von denen ich spreche, sind Geschwindigkeiten gegenüber einem Inertialsystem.
- Und dieses Inertialsystem ist ein Koordinatensystem, welches am Boden festgemacht ist.
- Wenn ich von Geschwindigkeiten spreche: Dann sind das Geschwindigkeiten gegenüber diesem am Boden festgemachten Koordinatensystem.
Betrachtet wird nur ein Zeitpunkt
- Alles, was ich hier sage, bezieht sich auf genau einen Zeitpunkt. Und für diesen Zeitpunkt stellt mir das Bild dar, was ich in diesem Moment sehe.
- Für diesen einen Moment berechne ich die Lage der Momentanpole, Winkelgeschwindigkeiten, Geschwindigkeiten usw.
- Und in diesem Moment ist der Winkel zwischen Stab und einer vertikalen Geraden gerade \(\varphi\).
Geschwindigkeitsvektoren zeigen Bewegungsrichtung von Teilchen
- Das Teilchen B auf dem Stab bewegt sich nach unten. Und der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens B zeigt darum nach unten.
- Das Teilchen A auf dem Stab bewegt sich nach rechts. Und der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens A zeigt darum nach rechts.
- Das Teilchen A bewegt sich nach rechts, weil das Gelenk bei A auch der Mittelpunkt des Rads ist. Und weil der Mittelpunkt des Rads sich nach rechts bewegt.
Lage des Momentanpols der Stabs
- Wenn ich die Geschwindigkeitsvektoren zweier Teilchen eines Starrkörpers kenne, dann kann ich damit die Lage des Momentanpols bestimmen. Jedenfalls kann ich das, wenn diese Geschwindigkeitsvektoren nicht parallel sind.
- Ich kenne die Geschwindigkeitsvektoren der zwei Teilchen A und B auf dem Stab. Und diese Geschwindigkeitsvektoren sind nicht parallel.
- Um die Lage des Momentanpols des Stabs zu bestimmen, mache ich folgendes:
- Beim Teilchen B zeichne ich eine Gerade, die senkrecht zu \(v_B\) ist. Und beim Teilchen A zeichne ich eine Gerade, die senkrecht zu \(v_A\) ist.
- Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der Momentanpol \(\mathsf{M}_S\).
Der Momentanpol ist kein Teilchen des Starrkörpers
- Der Momentanpol ist ein Punkt, um den ein Starrkörper momentan eine reine Drehung ausführt. Der Momentanpol ist also das Zentrum dieser Drehung.
- Der Momentanpol ist kein Teilchen des Starrkörpers. Es kann aber sein, dass ein Teilchen des Starrkörpers genau über dem Momentanpol liegt.
- Wenn das der Fall ist: Dann ist die Geschwindigkeit dieses Teilchens null, weil das Teilchen im Zentrum der Drehung des Starrkörpers ist, zu dem es gehört.
- Umgekehrt gilt: Wenn ein Starrkörper sich bewegt. Und wenn außerdem ein Teilchen des Starrkörpers die Geschwindigkeit null hat: Dann liegt dieses Teilchen über dem Momentanpol des Starrkörpers.
Momentanpol des rollenden Rads
- Bei einem rollenden Rad hat das Teilchen, welches den Boden gerade berührt, gegenüber dem Boden die Geschwindigkeit null. Denn dieses Teilchen des Rads haftet am Boden.
- Da das Teilchen, welches den Boden gerade berührt, die Geschwindigkeit null hat, ist der Berührpunkt zwischen Rad und Boden der Momentanpol \(\mathsf{M}_R\) des abrollenden Rads.

b) Winkelgeschwindigkeiten

Sei

\(\omega=\dot\varphi\) die Winkelgeschwindigkeit des Stabs und
\(\Omega\) die Winkelgeschwindigkeit des Rads.

Kennzeichnen Sie die Zählrichtungen von \(\omega\) und \(\Omega\) und berechnen Sie \(\Omega\) abhängig von \(v_A\) und \(r.\)

\[\Omega = \dots\]

Lösung

\[\Omega = \tfrac{v_A}{r}\]

c) Geschwindigkeiten von B und A

Betrachten Sie zunächst nur den Stab: Berechnen Sie:

die Geschwindigkeit \(v_A\), mit der sich das Teilchen A nach rechts bewegt - abhängig von \(\varphi, \omega, a\):

\[v_A =\dots\]
die Geschwindigkeit \(v_B\), mit der sich das Teilchen B nach unten bewegt - abhängig von \(\varphi, \omega, a\):

\[v_B =\dots\]

Zeigen Sie, dass:

\[v_B = v_A \tan\varphi\]

Lösung

Die Abstände der Teilchen zum Stab-Momentanpol sind:

Teilchen bei A: \(a \cos\varphi\)
Teilchen bei B: \(a \sin\varphi\)

Damit gilt:

Geschwindigkeit eines Teilchens bei A: \(v_A = a \cos\varphi \, \omega\)
Geschwindigkeit eines Teilchens bei B: \(v_B = a \sin\varphi \, \omega\)

Die Geschwindigkeit \(v_A\) ist gegeben, sodass die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des Stabs ist:

\begin{align}\label{eq-3.3.D-1} \omega &= \dot\varphi \notag \\ &= \tfrac{v_A }{a \cos\varphi }\tag{1} \end{align}

Die Geschwindigkeit von B lässt sich damit angeben als:

\begin{align} \label{eq-3.3.D-2} v_B &= a \sin\varphi \tfrac{v_A }{a \cos\varphi } \notag \\ &= v_A \tan\varphi \tag{2} \end{align}

d) Tabelle

Verwenden Sie die Größen:

\[\begin{split}a &= 1 \,\mathrm{m} \\ v_A&= 1 \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Füllen Sie folgende Tabelle mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\(\varphi\)	\(\dot\varphi\)	\(v_B\)
\(0^\circ\)
\(30^\circ\)
\(45^\circ\)

Lösung

Für den Fall, dass:

\[\begin{split}a &= 1 \,\mathrm{m} \\ v_A&= 1 \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\\end{split}\]

ist mit (1) bzw. (2)

\[\begin{split}\dot\varphi &= \tfrac{1}{\cos\varphi }\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\ v_B &= \tan\varphi \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Damit:

Gerundete Werte
\(\varphi\)	\(\dot\varphi \,/ \,\tfrac{1}{\mathrm{s}}\)	\(v_B \, / \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\(0^\circ\)	\(1\)	\(0\)
\(30^\circ\)	\(1{,}15\)	\(0{,}58\)
\(45^\circ\)	\(1{,}41\)	\(1\)

e) Positionsänderung

Berechnen Sie - ebenfalls für diese Größen - die Strecke \(\Delta x\), um die sich A innerhalb \(\Delta t = 1 \, \mathrm{s}\) nach rechts bewegt.

Lösung

\[\begin{split}\Delta x &= v_A \Delta t\\ &= 1 \, \mathrm{m}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import tan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

a = 1  * m
vA = 1 * m/s
phi = 0 * deg
phi = 30 * deg
# phi = 45 * deg

pprint("\nω / (1/s):")
w = vA / a / cos(phi)
printout(w, unit=1/s, prec=2, sub_list=[])

pprint("\nvB / (m/s):")
vB = vA * tan(phi)
printout(vB, unit=m/s, prec=2, sub_list=[])

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.