3.3.E

Gegeben

Symbole:

\[r, R, \Omega>0\]

Ein Stab rotiert mit Winkelgeschwindigkeit \(\Omega\) um den Punkt O und treibt eine Scheibe an.
Die Scheibe rollt auf einem Kreisbogen.
Auf der Scheibe sind die Teilchen A und B markiert.
Zum betrachteten Zeitpunkt befinden sich die Körper in der dargestellten Lage.

Berechnen Sie \(\omega\) und die Geschwindigkeit von B (zum betrachteten Zeitpunkt). Gehen Sie wie folgt vor:

a) Stab: Geschwindigkeit von S

Der Geschwindigkeitsvektor von S ist horizontal, weil der Stab um den Momentanpol O mit Winkelgeschwindigkeit \(\Omega\) rotiert. Sei \(v_S\) die Komponente dieser Geschwindigkeit nach links. Berechnen Sie hierfür:

\[v_S(R, \Omega)= \dots\]

Lösung

\[v_S = R \Omega\]

b) Scheibe: Geschwindigkeit von S

\(v_S\) nach links wird dem Scheibenmittelpunkt (durch die Bewegung der Stange) aufgezwungen und ist für die Scheibe möglich, weil die Scheibe um den Momentanpol A mit Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) rotiert. Berechnen Sie:

\[v_S(r,\omega)= \dots\]

Lösung

\[v_S = r \omega\]

c) Winkelgeschwindigkeiten

Zeigen Sie, dass:

\[\omega = \tfrac R r \Omega\]

Lösung

\[\begin{split}R \Omega &= r \omega \\ \omega &= \tfrac R r \Omega\end{split}\]

d) Geschwindigkeit von B

Berechnen Sie Geschwindigkeitsvektor des Teilchens B:

abhängig von den gegebenen Symbolen und
für folgende Größen:

\[\begin{split}r &= 1 \,\mathrm{m} \\ R &= 2{,}5 \,\mathrm{m} \\ \Omega &= \tfrac \pi 2 \,\tfrac{1}{\mathrm s}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[v_B \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 5{,}55 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\]

Lösung

Der Geschwindigkeitsvektor eines Teilchens bei B steht senkrecht auf der Geraden zwischen A und B, weil A der Momentanpol des Rads ist. Sei \(v_B\) die Komponente dieses Vektors wie gezeichnet. Dann gilt:

\[v_B = \sqrt 2 r \omega\]

Für die gegebenen Größen ist:

\[\begin{split}\omega &= \tfrac R r \Omega \\ &= 2{,}5 \tfrac \pi 2 \,\tfrac{1}{\mathrm s} \\ &= 1{,}25 \pi \,\tfrac{1}{\mathrm s}\end{split}\]

Und damit:

\[\begin{split}v_B &= \sqrt2 r\omega \\ &= \sqrt2 \cdot 1{,}25 \pi \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 5{,}55 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec = 2

r, R, Om = symbols("r, R, Omega")

sub_list=[
    ( r  , 1      *m   ),
    ( R  , 5      *m/2 ),
    ( Om , pi/2   *1/s ),
    ]

pprint("\nω:")
om = R/r*Om
pprint(om)

pprint("\nω / (1/s):")
printout(om, unit=1/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nvB:")
vB = sqrt(2)*r*om
pprint(vB)

pprint("\nvB / (m/s):")
printout(vB, unit=m/s, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.