3.3.F

Gegeben

Symbole:

\[0^\circ<\varphi<90^\circ, R, v_C\]

Größen:

\[\begin{split}\varphi &= 30^\circ \\ R &= \tfrac12 \,\mathrm{m} \\ v_C &= 1 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Und davon abhängig:

\[r = \tfrac23 R\]

Eine Stange PE ist mit einem abgestuften Rad verbunden.
P kann sich nur horizontal bewegen.
Das Rad rollt bei Q auf dem Boden ab.
Der Mittelpunkt C des Rads bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v_C\) nach rechts.

a) Geometrie

Berechnen Sie die Länge \(l\) der Stange für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[l = 1\,\mathrm{m}\]

Lösung

Großes rechtwinkliges Dreieck:

\[\begin{split}t_\varphi &= \tfrac{2 r c_\varphi}{l} \\ l &= \tfrac{2 r c_\varphi}{t_\varphi} \\ &= 2r \tfrac{c^2_\varphi}{s_\varphi}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen mit \(c^2_{30^\circ}=\tfrac34\) und \(s_{30^\circ}=\tfrac12\) liefert das:

\[\begin{split}l &= 2r \tfrac{\tfrac34}{\tfrac12} \\ &= 3 r \\ &= 2 R \\ &= 1 \,\mathrm{m}\end{split}\]

b) Momentanpole

Das System besteht aus den zwei Starrkörpern Stange und Rad. Berechnen Sie die \((x,y)\)-Koordinaten der Momentanpole dieser Starrkörper - für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Und zeigen Sie die Lage der Momentanpole in einer Skizze.

Lösung

Details

Ich kenne die Richtungen der Geschwindigkeiten der Teilchen P und E der Stange. Daraus lässt sich die Lage des Momentanpols M der Stange bestimmen wie folgt: 1. Senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit \(v_P\) und senkrecht zur Richtung von \(v_E\) Geraden zeichnen. 2. Der Momentanpol der Stange ist dort, wo diese beiden Geraden sich schneiden - also bei M.
Und Q ist der Momentanpol des Rads, weil Q der Abrollpunkt ist.

Koordinaten von M:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ \tfrac{l}{s_\varphi} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ \tfrac{1\,\mathrm{m}}{\tfrac12} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Koordinaten von Q:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_Q \\ y_Q \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{l}{c_\varphi} \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{1\,\mathrm{m}}{\tfrac{\sqrt3}{2}} \\ 0 \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}15 \\ 0 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

c) Abstände

Berechnen Sie die Abstände \(d_{QA}, d_{QB}, d_{QC}, d_{QD}\) zwischen den Teilchen A, B, C, D und dem Abrollpunkt Q - für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}d_{QA} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}833 \,\mathrm{m} \\ d_{QB} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}601 \,\mathrm{m} \\ d_{QC} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}333 \,\mathrm{m} \\ d_{QD} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}167 \,\mathrm{m} \\\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}d_{QA} &= R + r\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}833 \,\mathrm{m} \\ d_{QB} &= \sqrt{R^2 + r^2}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}601 \,\mathrm{m} \\ d_{QC} &= r \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}333 \,\mathrm{m} \\ d_{QD} &= R - r \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}167 \,\mathrm{m} \\\end{split}\]

d) Rad-Winkelgeschwindigkeit und Teilchen-Geschwindigkeiten

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_R\) des Rads und die Beträge der Geschwindigkeiten der Teilchen A, B und D - für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Kennzeichnen Sie die Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren in einer Skizze.

\[\begin{split}\omega_R &= \dots\\ v_A &= \dots\\ v_B &= \dots\\ v_D &= \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\omega_R &= \tfrac{v_C}{r} \\ &= \tfrac{3 v_C}{2 R} \\ &= 3 \, \tfrac{1}{\mathrm s}\\ v_A &= \omega_R d_{QA} \\ &= 2{,}5 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ v_B &= \omega_R d_{QB} \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}8 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ v_D &= \omega_R d_{QD} \\ &= 0{,}5 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

e) Winkelgeschwindigkeit des Stabs

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_S\) des Stabs - für die gegebenen Größen.

Lösung

\[\begin{split}d_{ME} &= y_M c_\varphi \\ \\ v_E &= 2 r c_\varphi \omega_R \\ \\ \omega_S &= \tfrac{v_E}{d_{ME}} \\ &= 1 \, \tfrac{1}{\mathrm s}\\\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import tan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec3 = 3
prec2 = 2

phi, R, vC = symbols("phi, R, vC", positive = True)
l = symbols("l", positive=True)

r = 2*R/3

sub_list= [
    ( phi , 30     *deg  ),
    ( R   , S(1)/2 *m    ),
    ( vC  , 1      *m/s  ),
    ]

t = tan(phi)
c = cos(phi)
sp = sin(phi)

sol = solve( Eq(l*t, 2*r*c), l)
l = sol[0]

pprint("\nl:")
pprint(l)

pprint("\nl / m:")
printout(l, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\n(xM, yM) / m:")
xM, yM = 0, l / sp
rM = Matrix([xM, yM])
printout(rM, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\n(xQ, yQ) / m:")
xQ, yQ = l / c, 0
rQ = Matrix([xQ, yQ])
printout(rQ, unit=m, prec=2, sub_list=sub_list)

dQA = R + r
dQB = sqrt(R*R + r*r)
dQC = r
dQD = R - r

pprint("\n(dQA, dQB, dQC, dQD) / m:")
for d in [dQA, dQB, dQC, dQD]:
    printout(d, unit=m, prec=3, sub_list=sub_list)

pprint("\nωʀ:")
wR = vC / r
pprint(wR)

pprint("\nωʀ / (1/s):")
printout(wR, unit=1/s, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\n\n(vA, vB, vC, vD) / (m/s):")
vA = wR * dQA
vB = wR * dQB
vC = wR * dQC
vD = wR * dQD
for v in [vA, vB, vC, vD]:
    pprint("\n")
    printout(v, unit=m/s, prec="nil", sub_list=sub_list)
    printout(v, unit=m/s, prec=prec3, sub_list=sub_list)
    
pprint("\ndME / m:")
dME = yM*c
printout(dME, unit=m, prec=prec2, sub_list=sub_list)

pprint("\nvE / (m/s):")
vE = wR*2*r*c
printout(vE, unit=m/s, prec=prec2, sub_list=sub_list)

pprint("\nωꜱ / (1/s):")
wS = vE / dME
printout(wS, unit=1/s, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.