3.3.H

Es geht um zwei Münzen, nämlich eine 1-Euro-Münze und eine 2-Euro-Münze. Die 1-Euro-Münze rollt ab auf dem Rand der 2-Euro-Münze.

Gegeben

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  • Körper 1 (die 1-Euro-Münze) und Körper 2 (die 2-Euro-Münze) sind auf der (x,y)-Ebene.

  • Körper 2 ist unbeweglich auf der Ebene festgemacht.

  • Körper 1 rollt auf dem Rand von Körper 2 ab.

  • In einem Zyklus überstreicht das Teilchen auf dem Mittelpunkt von Körper 1 die gestrichelte Kreisbahn der Länge \(U = \pi (D + d).\)

Berechnen Sie die Anzahl \(\Delta N\) der Umdrehungen von Körper 1 pro Zyklus. Berechnen Sie also, wie oft sich Körper 1 in einem Zyklus vollständig (also um 360 Grad) dreht. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001.\) Berechnen Sie also die drei fehlenden Ziffern nach dem Komma:

\[\Delta N \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 2{,}\,...\]

Lösung

Wenn ein Zyklus \(\Delta t = 20\, \mathrm{s}\) dauert und wenn der Mittelpunkt von Körper 1 sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit \(v\) bewegt, dann ist diese Bahngeschwindigkeit:

\[v = \tfrac{U}{\Delta t}\]

Und weil Körper 1 auf Körper 2 rollt, gilt:

\[v = \tfrac 1 2 d \omega\]

wobei \(\omega\) die (im Uhrzeigersinn positiv gezählte) Winkelgeschwindigkeit von Körper 1 ist.

Gleichsetzen liefert:

\[\begin{split}\omega &= \tfrac{U}{\Delta t}\tfrac{2}{d} \\ &= \tfrac{\pi (D + d)}{\Delta t}\tfrac{2}{d} \\ &= \tfrac{2 \pi \left(\tfrac D d + 1\right)}{\Delta t} \\\end{split}\]

Der in einem Zyklus von der roten Faser von Körper 1 überstrichene Winkel \(\Delta \varphi\) ist damit:

\[\begin{split}\Delta \varphi &= \omega \Delta t \\ &= 2 \pi \left(\tfrac D d + 1\right) \\\end{split}\]

Die Anzahl der Umdrehungen der roten Faser von Körper 1 in einem Zyklus ist:

\[\begin{split}\Delta N &= \tfrac{\Delta \varphi}{2 \pi} \\ &= \tfrac D d + 1 \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 2{,}108\end{split}\]

Und dies ist auch die Anzahl der Umdrehungen von Körper 1.

Details und andere Beispiele siehe Coin Rotation Paradox.