3.3.M

Gegeben

Symbole:

\[l, m_1, m_2\]

Dünner, homogener Stab mit Masse \(m_1\).
Punktmasse mit Masse \(m_2\).
Trägheitsmoment des Stabs (ohne Punktmasse) bezogen auf eine Achse parallel zur \(z\)-Achse und durch seinen Schwerpunkt S:

\[\Theta_{S1}=\tfrac{1}{12}m_1 l^2\]

Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Stabs mit Punktmasse bezogen auf eine Achse parallel zur \(z\)-Achse und durch A. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Stab: Trägheitsmoment bezüglich A

Verwenden Sie den Satz von Steiner, um zu zeigen, dass das Trägheitsmoment des Stabs (ohne Punktmasse) bezogen auf eine Achse parallel zur \(z\)-Achse und durch A ist:

\[\Theta_{A1} = \tfrac13 m_1 l^2\]

Lösung

\[\begin{split}\Theta_{A1} &= \Theta_{S1} + \tfrac{l^2}{4}m_1\\ &= \tfrac{l^2}{12}m_1\ + \tfrac{l^2}{4}m_1\\ &= \tfrac13 m_1 l^2\end{split}\]

b) Punktmasse: Trägheitsmoment bezüglich A

Berechnen Sie dass Trägheitsmoment der Punktmasse (ohne Stab) bezogen auf eine Achse parallel zur \(z\)-Achse und durch A. Zeigen Sie, dass:

\[\Theta_{A2} = l^2 m_2\]

Lösung

Das Trägheitsmoment der Punktmasse bezogen auf ihren eigenen Schwerpunkt ist gleich null, weil die Punktmasse überhaupt keine räumliche Ausdehnung hat. Bleibt nur der Steiner-Anteil, sodass:

\[\Theta_{A2} = l^2 m_2\]

c) Gesamt-Trägheitsmoment bezüglich A

Berechnen Sie dass Trägheitsmoment von Stab mit Punktmasse bezogen auf eine Achse parallel zur \(z\)-Achse und durch A , und zwar für die gegebenen Symbole.

\[\Theta_{A}=\dots\]

Lösung

\[\Theta_{A} = \Theta_{A1}+ \Theta_{A2}\]

d) Trägheitsmoment für Größen

Berechnen Sie \(\Theta_{A}\) für die Größen:

\[\begin{split}m_1 &= 3 \,\mathrm{kg} \\ m_2 &= 2 \,\mathrm{kg} \\ l &= 1 \,\mathrm{m}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\Theta_{A} = 3 \,\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2\]

Lösung

\[\begin{split}\Theta_{A} &= \tfrac13 m_1 l^2 + l^2 m_2\\ &= 1 \,\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2 + 2 \,\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2\\ &= 3 \,\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2\end{split}\]