3.3.N

Gegeben

Symbole:

\[a, m\]

Ein dünner, homogener, abgewinkelter Stab.
Der vertikale Teil 1 dieses Stabs hat die Masse \(2m\).
Der horizontale Teil 2 dieses Stabs hat die Masse \(m\).
Eine Punktmasse 3: Sie hat die Masse \(m\).

Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Verbunds bezüglich A. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Trägheitsmomente der Teilkörper

Betrachten Sie folgende Teilkörper einzeln:

den vertikalem Teil des Stabs, Masse \(2m\),
den horizontalen Teil des Stabs, Masse \(m\),
die Punktmasse, Masse \(m\).

Berechnen Sie die Trägheitsmomente der Teilkörper jeweils bezogen auf ihren Schwerpunkt:

\[\Theta_{S1} = \dots , \quad \Theta_{S2} = \dots , \quad \Theta_{S3} = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}\Theta_{S1} &= \tfrac{1}{12} 2m (2a)^2 \\ &= \tfrac 2 3 a^{2} m \\ \Theta_{S2} &= \tfrac{1}{12} a^2 m \\ \Theta_{S3}&= 0\end{split}\]

b) Quadrate der Abstände

Sei:

\(\boldsymbol d_1\): Vektor von A zum Schwerpunkt von 1
\(\boldsymbol d_2\): Vektor von A zum Schwerpunkt von 2
\(\boldsymbol d_3\): Vektor von A zum Schwerpunkt von 3

Berechnen Sie die Quadrate dieser Vektoren, also die Quadrate der Beträge der Vektoren:

\[d_1^2 = \dots, \quad d_2^2 = \dots, \quad d_3^2 = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}d_1^2 &= a^2 \\ d_2^2 &= (2a)^2+\left(\tfrac a 2\right)^2 \\ &= \tfrac{17 a^{2}}{4} \\ d_3^2 &= (2a)^2+a^2 \\ &= 5 a^{2}\end{split}\]

c) Trägheitsmomente bezogen auf A

Berechnen Sie die Trägheitsmomente der Teilkörper jeweils bezogen auf A:

\[\Theta_{A1}= \dots, \quad \Theta_{A2}= \dots, \quad \Theta_{A3} = \dots\]

und das Gesamt-Trägheitsmoment bezogen auf A:

\[\Theta_{A} = \Theta_{A1} + \Theta_{A2} + \Theta_{A3} = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}\Theta_{A1} &= \Theta_{S1} + d_1^2 m_1 \\ &= \tfrac 2 3 a^{2} m + a^2 m_1 \\ &= \tfrac 2 3 a^{2} m + a^2 2 m \\ &= \tfrac 2 3 a^{2} m + \tfrac 6 3 a^2 m \\ &= \tfrac{8 a^{2} m}{3} \\ \Theta_{A2} &= \Theta_{S2} + d_2^2 m_2 \\ &= \dots \\ &= \tfrac{13 a^{2} m}{3} \\ \Theta_{A3} &= \Theta_{S3} + d_3^2 m_3 \\ &= \dots \\ &= 5 a^{2} m \\ \\ \Theta_{A} &= \Theta_{A1}+ \Theta_{A2}+ \Theta_{A3} \\ &=12 a^{2} m\end{split}\]

d) Trägheitsmoment für Größen

Berechnen Sie \(\Theta_{A}\) für die Größen:

\[\begin{split}a &= 2 \,\mathrm{m} \\ m &= 2 \,\mathrm{kg}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\Theta_{A} = 96 \, {\mathrm{kg}}\,{\mathrm{m}}^2\]

Lösung

\[\begin{split}\Theta_{A} &= 12 a^{2} m \\ &= 96 \, {\mathrm{kg}}\,{\mathrm{m}}^2\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

a, mass = symbols("a, m", positive=True)

sub_list = [
    ( a,    2 *m  ),
    ( mass, 2 *kg ),
    ]

m1 = 2*mass
m2 = mass
m3 = mass

l1 = 2*a
l2 = a

d1 = l1/2
d2 = sqrt(l1**2 + (l2/2)**2)
d3 = sqrt(l1**2 + l2**2)

pprint("\nd2²:")
tmp = d2*d2
pprint(tmp)
pprint("\nd3²:")
tmp = d3*d3
pprint(tmp)

pprint("\n(ΘS1, ΘS2):")
TS1 = m1 * l1**2 / 12
TS2 = m2 * l2**2 / 12
tmp = TS1
pprint(tmp)
tmp = TS2
pprint(tmp)

pprint("\nΘA:")
T1 = TS1 + d1*d1 * m1
T2 = TS2 + d2*d2 * m2
T3 = d3*d3 * m3
TA = T1 + T2 + T3
tmp = TA
pprint(tmp)

pprint("\nΘA / (kg m²):")
printout(TA, unit=kg*m**2, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.