3.3.P

Gegeben

Es geht um einen homogen gefüllten Paraboloid.

Symbol:

\[r\]

Paraboloid:

\[\tfrac{z}{2r}= \left( \tfrac x r \right)^2 + \left( \tfrac y r \right)^2\]

a) Paraboloid-Radius

Zeigen Sie, dass der Paraboloid-Radius \(r_z\) dargestellt abhängig von \(z\) ist:

\[r_z = \sqrt{\tfrac{1}{2} rz}\]

Lösung

An jeder Position auf dem Paraboloid gilt:

\[r_z = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Verwendung der gegebenen Gleichung für den Paraboloid liefert:

\[\begin{split}r_z &= \sqrt{\tfrac{z}{2r} r^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{1}{2} rz}\end{split}\]

Probe an zwei \(z\)-Positionen:

\(z=0\):

\[r_z = 0\]
\(z=2r\):

\[\begin{split}r_z &= \sqrt{\tfrac{1}{2} 2 r^2} \\ &= r\end{split}\]

b) xx-Komponente des Trägheitstensors

Berechnen Sie die Komponente \(\Theta_{xx}\) des Trägheitstensors bzgl. O für die gegebenen Symbole, d.h. berechnen Sie:

\[\Theta_{xx} = \int \rho \left( y^2 + z^2 \right) dV\]

unter Verwendung von Zylinderkoordinaten \((\tilde r,\varphi, z)\):

\[\begin{split}x &= \tilde r \cos\varphi \\ y &= \tilde r \sin\varphi \\ z &= z \\ \\ {\mathsf d}V &= {\mathsf d}x\,{\mathsf d}y\,{\mathsf d}z \\ &= \tilde r {\mathsf d}\tilde r\,{\mathsf d}\varphi\, {\mathsf d}z\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\Theta_{xx} = \tfrac{13}{6} \rho \pi r^{5}\]

Hinweis

Verwenden Sie folgendes Integral mit Integrationskonstante \(C\):

\[\int\sin^2\!\varphi\,d\varphi = \tfrac{\varphi}{2} - \tfrac{1}{4} \sin (2\varphi) + C\]

Lösung

\[\begin{split}\Theta_{xx} &= \int \rho \left( y^2 + z^2 \right) {\mathsf d}V \\ &= \rho \int_{z=0}^{2r} \int_{\tilde r=0}^{\sqrt{\tfrac12 r z}} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \tilde r \left( y^2 + z^2 \right) {\mathsf d}\tilde r\,{\mathsf d}\varphi\, {\mathsf d}z \\ &= \rho \int_{z=0}^{2r} \int_{\tilde r=0}^{\sqrt{\tfrac12 r z}} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \left( {\tilde r}^3 s_\varphi^2 + \tilde r z^2 \right) {\mathsf d}\tilde r\,{\mathsf d}\varphi\, {\mathsf d}z \\ &= \dots \\ &= \tfrac{13}{6} \rho \pi r^{5}\end{split}\]

Anderer Rechenweg

c) xx-Komponente für Größen

Berechnen Sie \(\Theta_{xx}\) in \(10^6\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\) (10 hoch 6 Kilogramm mal Quadratmeter) für folgende gegebenen Größen:

\[\begin{split}r &= 2\,\mathrm{m} \\ \rho &= 5000\,\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\Theta_{xx} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}09\cdot 10^6 \,\mathrm{kg}\, \mathrm{m}^2\]

Lösung

Einsetzen der Größen und Runden liefert die Behauptung.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

R, rho = symbols("R, rho")

sub_list=[
    ( R,       2 *m       ),
    ( rho,  5000 *kg/m**3 ),
    ]

# Cylindrical coordinates:
z, phi, r = symbols("z, phi, r")
y = r*sin(phi)

pprint("\nΘxx:")
# Integrand:
tmp = (y*y + z*z)
# Jacobian:
tmp *= r
tmp = integrate( tmp, (phi, 0, 2*pi) )
tmp = integrate( tmp, (r, 0, sqrt(R*z/2)) )
tmp = integrate( tmp, (z, 0, 2*R) )
Theta = rho*tmp
pprint(Theta)

pprint("\nΘxx / (10⁶ kg m²):")
printout(Theta, unit=10**6*kg*m**2, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.