3.3.Q

Gegeben

Symbole:

\[a, m\]

Eine zusammengesetzte Struktur der Gesamtmasse \(3m\) besteht aus drei Abschnitten mit jeweils Länge \(a\) und Masse \(m\).

a) Stab

Berechnen Sie das Trägheitsmoment \(\Theta=\Theta_{zz}\) eines dünnen Stabs mit Länge \(a\) und Masse \(m\) bezogen auf dessen Schwerpunkt. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\Theta &= \int_{x=-\tfrac a 2}^{\tfrac a 2} x^2 {\mathsf d}m \\ &= \ldots \\ &= \tfrac{1}{12}m a^2\end{split}\]

Hinweis: Die Masse pro Länge \(\mu\) kann definiert werden als \(\mu = \tfrac m a\), sodass \({\mathsf d}m = \mu {\mathsf d}x\).

Lösung

Bei konstanter Masse pro Längeneinheit \(\mu=\tfrac m a\) gilt:

\[\begin{split}\Theta &= \int_{x=-\tfrac a 2}^{\tfrac a 2} x^2 {\mathsf d}m \\ &= \int_{x=-\tfrac a 2}^{\tfrac a 2} x^2 \mu \, {\mathsf d}x \\ &= \ldots \\ &= \tfrac{1}{12} m a^2\end{split}\]

b) Position des Schwerpunkts

Berechnen Sie die Position \(s\) des Schwerpunkts S der zusammengesetzten Struktur. Zeigen Sie, dass:

\[s = \tfrac 5 6 a\]

Lösung

\[\begin{split}s &= \tfrac{1}{3m} \left\{ \tfrac12 a m + a 2m \right\} \\ &= \tfrac{1}{3m} m \left\{ \tfrac52 a\right\} \\ &= \tfrac 5 6 a\end{split}\]

c) Trägheitsmoment bezüglich A

Berechnen Sie das Trägheitsmoment \(\Theta_A=\Theta_{Azz}\) der zusammengesetzten Struktur bezüglich A. Zeigen Sie, dass:

\[\Theta_A = 3 m a^2\]

Lösung

\[\begin{split}\Theta_A &= \tfrac{1}{12} m a^2 + \left\{\tfrac a 2 \right\}^2 m + \tfrac{1}{12} 2 m \left\{2a\right\}^2 + a^2 2m \\ &= 3 m a^2\end{split}\]

Vertikaler Abschnitt:

Masse: \(m\)
Länge: \(a\)
Abstand des Schwerpunkts des Abschnitts zum Bezugspunkt: \(\tfrac a 2\)

Horizontaler Abschnitt:

Masse: \(2m\)
Länge: \(2a\)
Abstand des Schwerpunkts des Abschnitts zum Bezugspunkt: \(a\)

d) Trägheitsmoment für Größen

Berechnen Sie \(\Theta_A\) für die Größen \(a = 2\,\mathrm{m}\) und \(m=2\,\mathrm{kg}\). Zeigen Sie, dass:

\[\Theta_A = 24 \, \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\]

Lösung

Einsetzen der Größen liefert die Behauptung.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

a, M, x = symbols("a, mass, x")
mu = M/a

t = integrate( mu*x*x , (x,-a/2,a/2))
pprint("\nΘ:")
pprint(t)

s = a*5/6

pprint("\nΘᴀ:")
tA = M*a**2 / 12 + (a/2)**2 *M
tA += 2*M*(2*a)**2/12 + a**2 *2*M
tmp = tA
pprint(tmp)

pprint("\nΘᴀ / (kg m²):")
sub_list = [
    (  a,    2 *m   ),
    (  M,    2 *kg  ),
    ]

tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= kg*m**2
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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