3.3.T

Gegeben

Symbole:

\[\begin{split}r &= 38 \, \mathrm{cm} \\ \varphi_s &= 30^\circ \\ \bar v &= 1\, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ \bar a &= 1\, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\\end{split}\]

Ein Rad mit Radius \(r\) rollt auf einer horizontalen Linie.
Ein Teilchen am Radmittelpunkt A hat die Geschwindigkeit \(\bar v\) und die Beschleunigung \(\bar a\).

a) Winkelgeschwindigkeit

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des Rads. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\omega &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}63 \, \tfrac{1}{\mathrm{s}} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 151 \, \tfrac{^\circ}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Lösung

\[\omega = \tfrac{\bar v}{r}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert die Behauptung.

b) Geschwindigkeit

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors \(\boldsymbol v\) eines Teilchens auf dem Rad bei B. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}5 \\ -0{,}87 \\ 0 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Und berechnen Sie damit den Betrag \(v\) des Geschwindigkeitsvektors und die Winkelposition \(\varphi_v\) des Geschwindigkeitsvektors. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}v &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}73 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ \varphi_v &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} -30 ^\circ\end{split}\]

Lösung

Starrkörper-Kinematik:

\[\boldsymbol v = \boldsymbol{\bar v} + \boldsymbol \omega \times \boldsymbol s\]

Dasselbe mit \((x,y,z)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar v \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} r c_s \\ r s_s \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bar v + r \omega s_s \\ -r \omega c_s \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

mit \(c_s = \cos \varphi_s\) und \(s_s = \sin \varphi_s\). Einsetzen der gegebenen und berechneten Größen liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}5 \\ -0{,}87 \\ 0 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Betrag und Winkelposition:

\[\begin{split}v &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}73 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ \varphi_v &= 2 \arctan\tfrac{v_y}{v + v_x} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} -30 ^\circ\end{split}\]

Details

Die oben verwendete Gleichung lässt sich für beliebige \(\varphi_s\) auswerten. Zum Beispiel gilt für den Momentanpol mit \(\varphi_s=-90^\circ\) und \(c_s = 0\) und \(s_s = -1\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar v \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ -r \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bar v - r \omega \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

c) Winkelbeschleunigung

Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung \(\dot \omega\) des Rads. . Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\dot \omega &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}63 \, \tfrac{1}{\mathrm{s}^2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 151 \, \tfrac{^\circ}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Lösung

Zusammenhang zwischen der Beschleunigung \(\boldsymbol{\bar a}\) eines Teilchens auf dem Radmittelpunkt und der Beschleunigung \(\boldsymbol a_0\) eines Teilchens, das gerade den Boden berührt:

\[\boldsymbol{\bar a} = \boldsymbol a_0 + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times r \boldsymbol e_y + \boldsymbol \omega \times \left( \boldsymbol \omega \times r \boldsymbol e_y \right)\]

Dasselbe mit \((x,y,z)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \bar a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\dot\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ r \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ r \\ 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} r \dot\omega \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} r \omega \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} r \dot\omega \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} r \dot\omega \\ \ldots \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Hierbei wurde ausgenutzt, dass ein Teilchen, das gerade den Boden berührt, in \(x\)-Richtung nicht beschleunigt ist, d.h. dass seine Beschleunigung in \(x\)-Richtung gleich null ist, d.h. dass \(a_{0x} = 0.\)

Die erste dieser drei Gleichungen liefert:

\[\dot\omega = \tfrac{\bar a}{r}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\begin{split}\dot \omega &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}63 \, \tfrac{1}{\mathrm{s}^2} \\ \dot \omega &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 151 \, \tfrac{^\circ}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

d) Beschleunigung

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten des Beschleunigungsvektors \(\boldsymbol a\) eines Teilchens auf dem Rad bei B, und zwar in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) (Meter pro Quadratsekunde) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ 0 \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ 0 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Und berechnen Sie damit den Betrag \(a = \lVert \boldsymbol a\rVert\) des Beschleunigungsvektors in \(\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) (Meter pro Quadratsekunde) und die Winkelposition \(\varphi_a\) des Beschleunigungsvektors in \(^\circ\) (Grad), gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\) bzw. \(1{,}0\) :

\[\begin{split}a &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ \varphi_a &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} \ldots ^\circ\end{split}\]

Lösung

Starrkörper-Kinematik:

\[\boldsymbol a = \boldsymbol{\bar a} + \dot{\boldsymbol\omega} \times \boldsymbol s + \boldsymbol \omega \times \left( \boldsymbol \omega \times \boldsymbol s \right)\]

Dasselbe mit \((x,y,z)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\dot\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} r c_s \\ r s_s\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} r c_s \\ r s_s\\ 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \begin{bmatrix} \bar a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} r \dot\omega s_s \\ -r \dot\omega c_s\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} r \omega s_s \\ -r \omega c_s\\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bar a + r \dot\omega s_s \\ -r \dot\omega c_s\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} - r \omega^2 c_s \\ - r \omega^2 s_s\\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bar a + r \dot\omega s_s - r \omega^2 c_s \\ -r \dot\omega c_s -r \omega^2 s_s\\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen und berechneten Größen liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ 0 \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}78 \\ -2{,}18 \\ 0 \end{bmatrix} \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{split}\]

Betrag und Winkelposition:

\[\begin{split}a &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}32 \, \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ \\ \varphi_a &= 2 \arctan\tfrac{a_y}{a + a_x} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} -110^\circ\end{split}\]

Hinweis

Die oben verwendete Gleichung lässt sich für beliebige \(\varphi_s\) auswerten. Zum Beispiel gilt für den Momentanpol mit \(\varphi_s=-90^\circ\) und \(c_s = 0\) und \(s_s = -1\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar a + r \dot\omega s_s - r \omega^2 c_s \\ -r \dot\omega c_s -r \omega^2 s_s\\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bar a - r \dot\omega \\ r \omega^2\\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ r \omega^2\\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import m, s
from sympy import pi, S, var, pprint, Matrix, Eq, solve, atan, cos, sin, symbols


cm = m/100
deg = pi / 180

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        x = x.simplify()
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# --- Start of Input ---

prec_2 = 2
prec_0 = 0

vA, aA = symbols("vA, aA", real=True)
r = symbols("r", positive=True)
ps = symbols("φs", real=True)



sub_list = [
    (vA,  1  * m/s    ),
    (aA,  1  * m/s**2 ),
    (r , 38  *cm      ),
    (ps, 30  *deg     ),
]

# sub_list = [
#     (vA,  2  * m/s    ),
#     (aA,  2  * m/s**2 ),
#     (r , 40  *cm      ),
#     (ps, 40  *deg     ),
# ]

# sub_list = [
#     (vA,   1  * m/s    ),
#     (aA,   3  * m/s**2 ),
#     (r ,  50  *cm      ),
#     (ps, -40  *deg     ),
# ]

# --- End of Input ---


cs, ss = cos(ps), sin(ps)

pprint("\nω / (1/s):")
w = vA / r
pprint(w)
printout(w, unit=1/s, prec=prec_2, sub_list=sub_list)
pprint("\nω / (deg/s):")
printout(w, unit=deg/s, prec=prec_0, sub_list=sub_list)


pprint("\nω / (1/s):")
printout(w, unit=1/s, prec=10, sub_list=sub_list)
pprint("\nω / (deg/s):")
printout(w, unit=deg/s, prec=10, sub_list=sub_list)
exit()

pprint("\nv / (m/s):")
vA = Matrix([vA, 0, 0])
vx, vy = symbols("vx, vy") 
v = Matrix([vx, vy, 0])
wv = Matrix([0, 0, -w])
ds = r*Matrix([cs, ss, 0])
eq = Eq(v, vA + wv.cross(ds))
sol = solve(eq, [vx, vy,])
v = Matrix([sol[vx], sol[vy], 0])
tmp = v
pprint(tmp)
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= m/s
tmp = tmp.expand()
tmp = iso_round(tmp, prec_2)
pprint(tmp)

pprint("\n|v| / (m/s):")
v = v.norm()
printout(v, unit=m/s, prec=prec_2, sub_list=sub_list)

pprint("\nφv / deg:")
φv = 2*atan(sol[vy] / (v + sol[vx]))
printout(φv, unit=deg, prec=prec_0, sub_list=sub_list)


pprint("\nω' / (1/s²):")
wp = var("ω'")
aAv = Matrix([aA, 0, 0])
wpv = Matrix([0, 0, -wp])
dOA = Matrix([0, r, 0]) 

# rhs:
term = wv.cross(dOA)
term = wv.cross(term)
rhs = wpv.cross(dOA) + term
lhs = aAv
eq = Eq(lhs[0], rhs[0])
sol = solve(eq,wp)
wp = sol[0]

printout(wp, unit=1/s**2, prec=prec_2, sub_list=sub_list)
pprint("\nω' / (deg/s²):")
printout(wp, unit=deg/s**2, prec=prec_0, sub_list=sub_list)

pprint("\na / (m/s²):")
ax, ay = var("ax, ay") 
aB = Matrix([ax, ay, 0])

wpv = Matrix([0, 0, -wp])
ds = Matrix([r*cs, r*ss, 0])
t1 = aAv
t2 = wpv.cross(ds)
t3 = wv.cross(wv.cross(ds))

eq = Eq(aB, t1 + t2 + t3)
sol = solve(eq, aB)
ax, ay = sol[ax], sol[ay]
aB = Matrix([ax, ay, 0])
tmp = aB
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= m/s**2
tmp = tmp.expand()
tmp = iso_round(tmp, prec_2)
pprint(tmp)

pprint("\n|a| / (m/s²):")
a = aB.norm()
a = a.expand()
printout(a, unit=m/s**2, prec=prec_2, sub_list=sub_list)
pprint("\nφa / deg:")
φa = 2*atan(ay / (a + ax))
printout(φa, unit=deg, prec=prec_0, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.