3.3.V

Gegeben

Gegebene Größen:

\[\begin{split}r &= 2 \, \mathrm{cm} \\ x &= 3{,}5 \, \mathrm{cm}\\ v &= 2 \, \tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Ein infinitesimal dünner Starrkörper gleitet bei B auf einem Kreisbogen mit Radius \(r\).
Ein Teilchen am Ende A des Starrkörpers hat die Geschwindigkeit \(v\) nach rechts.
M ist der Momentanpol des Starrkörpers.

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des Starrkörpers in \(\tfrac{^\circ}{\mathrm{s}}\) (Grad pro Sekunde) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\omega \stackrel{\small{0{,}01}}{\approx}22{,}80 \, \tfrac{^\circ}{\mathrm{s}}\]

Lösung

Berechnung der Höhe \(h\) aus ähnlichen Dreiecken:

\[\begin{split}\tfrac{r}{\sqrt{x^2 - r^2}} &= \tfrac x h \\ h &= \tfrac{x\sqrt{x^2 - r^2}}{r}\\ &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx}5{,}03 \, \mathrm{cm}\end{split}\]

Berechnung der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) aus:

\[\begin{split}\omega &= \tfrac v h \\ &= \tfrac{rv}{x\sqrt{x^2 - r^2}}\\ &\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx}22{,}80 \, \tfrac{^\circ}{\mathrm{s}}\end{split}\]

Alternativ:

Berechnung des Winkels \(\varphi\) aus:

\[\cos\varphi = \tfrac r x\]
Berechnung der Höhe \(h\) aus:

\[\tan \varphi = \tfrac h x\]
Berechnung der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) wie zuvor.