M.1.A

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Es geht um die Winkelposition (Englisch: angular position) eines Zeigers. Untersuchen Sie die Winkelposition eines Sekundenzeigers. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Winkelposition

Konventionen

Zweck von \(\varphi\): Beschreibung der Winkelposition des Sekundenzeigers.
Definitionsbereich von \(\varphi\): \(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\).
Zählrichtung von \(\varphi\): Entgegen Uhrzeigersinn.
Nullpunkt von \(\varphi\): 3-Uhr-Winkelposition.

Füllen Sie folgende Tabelle aus:

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)
2 Uhr	\(30^\circ\)
12 Uhr	\(90^\circ\)
6 Uhr	\(\ldots\)
11 Uhr	\(\ldots\)
4 Uhr	\(\ldots\)
5 Uhr	\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)
2 Uhr	\(30^\circ\)
12 Uhr	\(90^\circ\)
6 Uhr	\(270^\circ\)
11 Uhr	\(120^\circ\)
4 Uhr	\(330^\circ\)
5 Uhr	\(300^\circ\)

b) Zählrichtung

Negative Winkel

Die grünen Pfeile kennzeichnen die Richtungen, in die \(x\) bzw. \(\varphi\) größer werden.
Die roten Pfeile kennzeichnen die Richtungen, in die \(-x\) bzw. \(-\varphi\) größer werden.
Die Aussage \(-x=2\) ist äquivalent zur Aussage \(x=-2\).
Die Aussage \(-\varphi=45^\circ\) ist äquivalent zur Aussage \(\varphi=-45^\circ\).
Positionen von Teilchen bzw. Winkelpositionen von Zeigern können also auch mit negativen Zahlen beschrieben werden.

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)	\(0^\circ \le - \varphi < 360^\circ\)	\(-360^\circ < \varphi \le 0^\circ\)
2 Uhr	\(30^\circ\)	\(330^\circ\)	\(-330^\circ\)
12 Uhr	\(90^\circ\)	\(270^\circ\)	\(-270^\circ\)
6 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
11 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
4 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
5 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)	\(0^\circ \le - \varphi < 360^\circ\)	\(-360^\circ < \varphi \le 0^\circ\)
2 Uhr	\(30^\circ\)	\(330^\circ\)	\(-330^\circ\)
12 Uhr	\(90^\circ\)	\(270^\circ\)	\(-270^\circ\)
6 Uhr	\(270^\circ\)	\(90^\circ\)	\(-90^\circ\)
11 Uhr	\(120^\circ\)	\(240^\circ\)	\(-240^\circ\)
4 Uhr	\(330^\circ\)	\(30^\circ\)	\(-30^\circ\)
5 Uhr	\(300^\circ\)	\(60^\circ\)	\(-60^\circ\)

c) Periodizität

360-Grad-Periodizität

Falls der Definitionsbereich von \(\varphi\) nicht auf ein Intervall beschränkt ist, gilt: Eine einzige Zeiger-Winkelposition kann mit mehreren Winkeln beschrieben werden, die sich um Vielfache von \(360^\circ\) unterscheiden. Z. B. beschreiben alle folgenden Winkel die 2 Uhr Zeiger-Winkelposition:

\[\begin{split}\varphi &= -330^\circ \\ \varphi &= 30^\circ \\ \varphi &= 390^\circ \\ \varphi &= 750^\circ\end{split}\]

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition	\(-360^\circ \le \varphi < 0^\circ\)	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)	\(360^\circ \le \varphi < 720^\circ\)
2 Uhr	\(-330^\circ\)	\(30^\circ\)	\(390^\circ\)
12 Uhr	\(-270^\circ\)	\(90^\circ\)	\(450^\circ\)
6 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
11 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
4 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
5 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition	\(-360^\circ \le \varphi < 0^\circ\)	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)	\(360^\circ \le \varphi < 720^\circ\)
2 Uhr	\(-330^\circ\)	\(30^\circ\)	\(390^\circ\)
12 Uhr	\(-270^\circ\)	\(90^\circ\)	\(450^\circ\)
6 Uhr	\(-90^\circ\)	\(270^\circ\)	\(630^\circ\)
11 Uhr	\(-240^\circ\)	\(120^\circ\)	\(480^\circ\)
4 Uhr	\(-30^\circ\)	\(330^\circ\)	\(690^\circ\)
5 Uhr	\(-60^\circ\)	\(300^\circ\)	\(660^\circ\)

d) Grad und Radiant

Bemerkung

Infos zu Umrechnungen siehe hier.

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)	\(0 \le \varphi < 2 \pi\)	\(- 2 \pi < \varphi \le 0\)
2 Uhr	\(30 ^\circ\)	\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{11}{12} \cdot 2\pi\)
12 Uhr	\(90 ^\circ\)	\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)
6 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
11 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
4 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
5 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)	\(0 \le \varphi < 2 \pi\)	\(- 2 \pi < \varphi \le 0\)
2 Uhr	\(30 ^\circ\)	\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{11}{12} \cdot 2\pi\)
12 Uhr	\(90 ^\circ\)	\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)
6 Uhr	\(270^\circ\)	\(\tfrac{9}{12} \cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)
11 Uhr	\(120^\circ\)	\(\tfrac{4}{12} \cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{8}{12} \cdot 2\pi\)
4 Uhr	\(330^\circ\)	\(\tfrac{11}{12}\cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)
5 Uhr	\(300^\circ\)	\(\tfrac{10}{12}\cdot 2\pi\)	\(-\tfrac{2}{12} \cdot 2\pi\)

e) Freie Wahl

Wahl von Bezeichnung, Nullpunkt und Zählrichtung

Winkel werden zur Beschreibung der Winkelposition des Zeigers verwendet. Hierbei wählt man die Bezeichnung des Winkels, den Nullpunkt und die Zählrichtung:

Füllen Sie folgende Tabelle aus.

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \psi < 360^\circ\)	\(0 \le \psi < 2 \pi\)
7 Uhr	\(30 ^\circ\)	\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)
9 Uhr	\(90 ^\circ\)	\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)
6 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)
11 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)
4 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)
5 Uhr	\(\ldots\)	\(\ldots\)

Lösung

Zeiger-Winkelposition	\(0^\circ \le \psi < 360^\circ\)	\(0 \le \psi < 2 \pi\)
7 Uhr	\(30 ^\circ\)	\(\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi\)
9 Uhr	\(90 ^\circ\)	\(\tfrac{3}{12} \cdot 2\pi\)
6 Uhr	\(0^\circ\)	\(\tfrac{0}{12} \cdot 2\pi\)
11 Uhr	\(150^\circ\)	\(\tfrac{5}{12} \cdot 2\pi\)
4 Uhr	\(300^\circ\)	\(\tfrac{10}{12}\cdot 2\pi\)
5 Uhr	\(330^\circ\)	\(\tfrac{11}{12}\cdot 2\pi\)