M.1.C-1

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a) Ein Winkel

Berechnen Sie:

\begin{align*} c_\varphi &= \cos\varphi = \ldots\\ s_\varphi &= \sin\varphi = \ldots\\ \end{align*}

Berechnen Sie außerdem den Winkel \(\varphi\), um den das blaue Bezugssystem relativ zum grünen (um die gemeinsame \(\bar y = y\)-Achse) gedreht ist.

\begin{align*} \varphi &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots^\circ \end{align*}

Lösung

\begin{align*} c_\varphi &= \tfrac{a}{\sqrt{\tfrac 5 4}a} = \tfrac{2}{\sqrt 5}= \tfrac{2\sqrt 5}{5}\\ s_\varphi &= \tfrac{\tfrac 1 2 a}{\sqrt{\tfrac 5 4}a} = \tfrac{1}{\sqrt 5}= \tfrac{\sqrt 5}{5}\\ \end{align*}

\begin{align*} \varphi &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 26{,}57^\circ \end{align*}

b) Zwei Winkel

Berechnen Sie:

\begin{align*} c_\varphi &= \cos\varphi = \ldots\\ s_\varphi &= \sin\varphi = \ldots\\ \\ c_\psi &= \cos\psi = \ldots \\ s_\psi &= \sin\psi = \ldots \\ \end{align*}

Berechnen Sie außerdem die Winkel (genauer: die Winkelpositionen) \(\varphi\) und \(\psi\).

\begin{align*} \varphi &= \ldots^\circ \\ \psi &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots^\circ \end{align*}

Lösung

Aus der Skizze:

\begin{align*} c_\varphi &= \tfrac{a}{\sqrt 2 a} = \tfrac{\sqrt 2}{2}\\ s_\varphi &= \tfrac{a}{\sqrt 2 a} = \tfrac{\sqrt 2}{2}\\ \\ c_\psi &= \tfrac{a}{\sqrt 3 a} = \tfrac{\sqrt 3}{3}\\ s_\psi &= \tfrac{\sqrt 2 a}{\sqrt 3 a} = \tfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3} = \tfrac{\sqrt 6}{3} \\ \end{align*}

\begin{align*} \varphi &= \arccos \tfrac{\sqrt 2}{2} \\ &= 45^\circ \\ \psi &= \arccos \tfrac{\sqrt 3}{3} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 54{,}74^\circ \end{align*}

Dieselbe Lösung liefert:

\begin{align*} \varphi &= \arcsin \tfrac{\sqrt 2}{2} \\ \psi &= \arcsin \tfrac{\sqrt 6}{3} \end{align*}

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import *

# Degrees:
deg = pi/180

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

var("alpha, beta")

prec = 2

pprint("\nSolve for φ:")
tmp = acos(sqrt(2)/2)
pprint("\nφ / deg:") 
pprint(iso_round(tmp/deg, prec))
pprint("\nφ / rad:")
pprint(iso_round(tmp, prec))

pprint("\n\nSolve for ψ:")
tmp = acos(sqrt(3)/3)
pprint("\nψ / deg:")
pprint(iso_round(tmp/deg, prec))
pprint("\nψ / rad:")
pprint(iso_round(tmp, prec))

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.