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M.1.C

Video

../../../_images/3.3.R_1.png

Das blaue \((\tilde x, \tilde y, \tilde z)\)-System ist gedreht relativ zum grünen \((x, y, z)\)-System, und zwar um den blauen Winkel \(\varphi\) um die gemeinsame Achse \(y=\tilde y\). Und das rote \((\bar x, \bar y, \bar z )\)-System ist gedreht relativ zum blauen \((\tilde x, \tilde y, \tilde z)\)-System, und zwar um den roten Winkel \(\psi\) um die gemeinsame \(\tilde x = \bar x\)-Achse.

Gegebene Symbole: Kantenlänge \(a\) und (hier nicht benötigt) Masse \(m.\)

a) Kosinus und Sinus

Berechnen Sie für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}c_\varphi &= \cos\varphi = \ldots\\ s_\varphi &= \sin\varphi = \ldots\\ \\ c_\psi &= \cos\psi = \ldots \\ s_\psi &= \sin\psi = \ldots \\\end{split}\]

Lösung

  • Die Diagonalen der Würfel-Außenflächen haben die Längen \(\sqrt 2 a\).

  • Die Raumdiagonalen haben die Längen \(\sqrt 3 a\).

Darum gilt:

\begin{align*} c_\varphi &= \tfrac{a}{\sqrt 2 a} = \tfrac{\sqrt 2}{2}\\ s_\varphi &= \tfrac{a}{\sqrt 2 a} = \tfrac{\sqrt 2}{2}\\ \\ c_\psi &= \tfrac{a}{\sqrt 3 a} = \tfrac{\sqrt 3}{3}\\ s_\psi &= \tfrac{\sqrt 2 a}{\sqrt 3 a} = \tfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3} = \tfrac{\sqrt 6}{3} \\ \end{align*}

Bemerkung

Zur Berechnung der Winkel \(\varphi\) und \(\psi\) siehe M.1.C-1.

b) Drehmatrizen

Berechnen Sie die 3x3-Drehmatrizen Matrizen \(R_\varphi, R_\psi\) und \(R\), sodass sich die Komponenten eines Vektors \(\boldsymbol v\) passiv transformieren mit:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{\tilde x}\\ v_{\tilde y}\\ v_{\tilde z} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z} \end{bmatrix} \,\qquad \begin{bmatrix} v_{\bar x}\\ v_{\bar y}\\ v_{\bar z} \end{bmatrix} = R_\psi \begin{bmatrix} v_{\tilde x}\\ v_{\tilde y}\\ v_{\tilde z} \end{bmatrix} \,\qquad \begin{bmatrix} v_{\bar x}\\ v_{\bar y}\\ v_{\bar z} \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z} \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie diese Matrizen für:

  • die gegebenen Symbole und

  • für die gegebenen Größen , und zwar gerundet auf \(0{,}01\).

Lösung

Details siehe 3D Elementar-Drehungen.

\[\begin{split}R_\varphi &= \begin{bmatrix} c_\varphi & 0 & - s_\varphi\\ 0 & 1 & 0\\ s_\varphi & 0 & c_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 1 & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix}0{,}71 & 0{,}0 &-0{,}71\\0{,}0 & 1{,}0 & 0{,}0\\0{,}71 & 0{,}0 &0{,}71\end{bmatrix} \\ \\ R_\psi &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & c_\psi & s_\psi\\ 0 & - s_\psi & c_\psi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\0 & - \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix}1{,}0 & 0{,}0 & 0{,}0\\0{,}0 &0{,}58 &0{,}82\\0{,}0 &-0{,}82 &0{,}58\end{bmatrix} \\ \\ R &= R_\psi R_\varphi \\ &= \begin{bmatrix}c_\varphi & 0 & - s_\varphi\\s_\varphi s_\psi & c_\psi & s_\psi c_\varphi\\s_\varphi c_\psi & - s_\psi & c_\varphi c_\psi \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\\\tfrac{\sqrt{3}}{3} & \tfrac{\sqrt{3}}{3} & \tfrac{\sqrt{3}}{3}\\\tfrac{\sqrt{6}}{6} & - \tfrac{\sqrt{6}}{3} & \tfrac{\sqrt{6}}{6}\end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix}0{,}71 & 0{,}0 &-0{,}71\\0{,}58 &0{,}58 &0{,}58\\0{,}41 &-0{,}82 &0{,}41 \end{bmatrix}\end{split}\]

c) Beispiele mit Symbolen

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Gegeben sind die drei Bezugssysteme einerseits, und ein Vektor über seine Komponenten in einem der drei Bezugssysteme andererseits.

Für die gegebenen Symbole: Füllen Sie folgende Tabelle:

grün
\(\begin{bmatrix}v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z}\end{bmatrix}\)

blau
\(\begin{bmatrix}v_{\tilde x} \\ v_{\tilde y} \\ v_{\tilde z}\end{bmatrix}\)

rot
\(\begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z}\end{bmatrix}\)

1

\(\begin{bmatrix}0\\0 \\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

2

\(\begin{bmatrix}a\\a \\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

3

\(\begin{bmatrix}a\\ 0\\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

4

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ 0\\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

5

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \\\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ a\\ 0 \\ \end{bmatrix}\)

Lösung

grün
\(\begin{bmatrix}v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z}\end{bmatrix}\)

blau
\(\begin{bmatrix}v_{\tilde x}\\v_{\tilde y}\\v_{\tilde z}\end{bmatrix}\)

rot
\(\begin{bmatrix}v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z}\end{bmatrix}\)

1

\(\begin{bmatrix}0 \\0 \\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}- \frac{\sqrt{2}}{2} a\\0\\\frac{\sqrt{2}}{2} a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}- \frac{\sqrt{2}}{2} a\\\frac{\sqrt{3}}{3} a\\\frac{\sqrt{6}}{6} a\end{bmatrix}\)

2

\(\begin{bmatrix}a\\a\\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\a\\\sqrt{2} a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\\sqrt{3} a\\0\end{bmatrix}\)

3

\(\begin{bmatrix}a\\ 0\\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\0\\\sqrt{2} a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\\frac{2 \sqrt{3}}{3} a\\\frac{\sqrt{6}}{3} a\end{bmatrix}\)

4

\(\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} a\\0\\\frac{\sqrt{2}}{2} a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ 0\\ a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\\frac{\sqrt{6}}{3}a\\\frac{\sqrt{3}}{3}a\end{bmatrix}\)

5

\(\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{3}a\\\frac{\sqrt{3}}{3}a\\\frac{\sqrt{3}}{3}a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\\frac{\sqrt{3}}{3}a\\\frac{\sqrt{6}}{3}a\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ a\\ 0\end{bmatrix}\)

d) Beispiele mit Größen

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Für die gegebenen Größen: Füllen Sie folgende Tabelle mit Größen in \(\mathrm{m}\) (Meter) und gerundet auf \(0{,}01\):

grün
\(\begin{bmatrix}v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z}\end{bmatrix}\)

blau
\(\begin{bmatrix}v_{\tilde x}\\v_{\tilde y}\\v_{\tilde z}\end{bmatrix}\)

rot
\(\begin{bmatrix}v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z}\end{bmatrix}\)

1

\(\begin{bmatrix}0\\0\\ 1\,\mathrm{m} \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

2

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ 1\,\mathrm{m} \\ 0 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

3

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}\ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ 0 \\ 1\,\mathrm{m} \end{bmatrix}\)

Lösung

grün
\(\begin{bmatrix}v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z}\end{bmatrix}\)

blau
\(\begin{bmatrix}v_{\tilde x}\\v_{\tilde y}\\v_{\tilde z}\end{bmatrix}\)

rot
\(\begin{bmatrix}v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z}\end{bmatrix}\)

1

\(\begin{bmatrix}0\\0\\ 1\end{bmatrix}\,\mathrm{m}\)

\(\begin{bmatrix}-0{,}71\\0\\0{,}71\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

\(\begin{bmatrix}-0{,}71\\0{,}58\\0{,}41\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

2

\(\begin{bmatrix}0\\1{,}0\\0\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

\(\begin{bmatrix}0\\0{,}58\\-0{,}82\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

3

\(\begin{bmatrix}0{,}41\\-0{,}82\\0{,}41\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

\(\begin{bmatrix}0\\-0{,}82\\0{,}58\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

\(\begin{bmatrix}0\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\)

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# cos α, sin α and cos β, sin β:
cφ, sφ = sqrt(2) / 2, sqrt(2) / 2
cψ, sψ = sqrt(3) / 3, sqrt(6) / 3

pprint("\nRφ, Rψ, R:")
Rφ = Matrix([
    [cφ, 0, -sφ],
    [0,  1,   0],
    [sφ, 0,  cφ]
    ])

Rψ = Matrix([
    [1,  0,    0],
    [0,  cψ,  sψ],
    [0, -sψ,  cψ]
    ])

R = Rψ*Rφ
pprint(Rφ)
pprint(Rψ)
pprint(R)

pprint("\n--- Example 1 ---")
pprint("\nv (Given Green Components):")
v  = Matrix([0, 0, 2])
pprint(v)

pprint("\nṽ (Blue Components cφlculated from Green Components):")
# ṽ = Rφ v
vt = Rφ*v
pprint(vt)
pprint(iso_round(vt, 2))

pprint("\nv̄ (Red from Green):")
# v̄ = R v
vb = R*v 
pprint(vb)
pprint(iso_round(vb, 2))

pprint("\n--- Example 2 ---")
pprint("\nṽ (Given Blue Components):")
vt  = Matrix([1, 0, 1])
pprint(vt)

pprint("\nv (Green from Blue):")
pprint("\nUsing Transpose:")
# v = Rφᵀ ṽ
v = Rφ.transpose()*vt
pprint(v)
pprint(iso_round(v, 2))

pprint("\nUsing Inverse:")
# v = Rφ⁻¹ ṽ
v = Rφ.inv()*vt
pprint(v)
pprint(iso_round(v, 2))

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.