M.1.E

Gegeben

../../../_images/M.1.E.png — Uhrzeit: 05:05:20 Uhr

Gegeben:

\(0\le\varphi_{\mathrm{h}}, \varphi_{\mathrm{min}}, \varphi_{\mathrm{s}} < 360^\circ\): Winkelposition des Stundenzeigers, Minutenzeigers, Sekundenzeigers.
12-Uhr-Winkelposition: Der Nullpunkt aller Winkelpositionen.
Zählrichtung „im Uhrzeigersinn“: Die positive Zählrichtung aller Winkelpositionen.

Stundenzeiger

Berechnen Sie die Winkelposition des Stundenzeigers in \(^\circ\) (Grad). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

\[\varphi_{\mathrm{h}}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots^\circ\]

Lösung

Seit 00:00:00 Uhr sind 5 Stunden und 5 Minuten und 20 Sekunden verstrichen, also 18320 Sekunden.
Während dieses Zeitintervalls hat der Stundenzeiger den dargestellten Winkel \(\varphi_{\mathrm{h}}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 152{,}67^\circ\) überstrichen.
In einer Stunde überstreicht der Stundenzeiger 30 Grad. In einer Minute überstreicht er 1/60 von 30 Grad.
In einer Sekunde überstreicht er 1/3600 von 30 Grad, also 3/360 Grad, also 1/120 Grad. Die Winkelgeschwindigkeit des Stundenzeigers ist gleich \(\tfrac{\left(\tfrac{1}{120}\right)^\circ}{\mathrm{s}}=\tfrac{0{,}008\bar{3}\,^\circ}{\mathrm{s}}.\)

Minutenzeiger

Berechnen Sie die Winkelposition des Minutenzeigers in \(^\circ\) (Grad) für diese Uhrzeit.

\[\varphi_{\mathrm{min}}=\ldots^\circ\]

Lösung

Seit 05:00:00 Uhr sind 5 Minuten und 20 Sekunden verstrichen, also 320 Sekunden.
Während dieses Zeitintervalls hat der Minutenzeiger den dargestellten Winkel \(\varphi_{\mathrm{min}}=32^\circ\) überstrichen.
In einer Minute überstreicht der Minutenzeiger 1/60 von 360 Grad, also 6 Grad.
In einer Sekunde überstreicht er 1/60 von 6 Grad, also 0,1 Grad. Die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers ist gleich \(\tfrac{0{,}1\,^\circ}{\mathrm{s}}.\)

Sekundenzeiger

Berechnen Sie die Winkelposition des Sekundenzeigers in \(^\circ\) (Grad) - für die gegebene Uhrzeit: 05:05:20 Uhr.

\[\varphi_{\mathrm{s}}=\ldots^\circ\]

Lösung

Seit 05:05:00 Uhr sind 20 Sekunden verstrichen.
Während dieses Zeitintervalls hat der Sekundenzeiger den dargestellten Winkel \(\varphi_{\mathrm{s}}=120^\circ\) überstrichen.
Pro Sekunde überstreicht der Sekundenzeiger den Winkel 6 Grad. Die Winkelgeschwindigkeit des Sekundenzeigers ist gleich \(\tfrac{6\,^\circ}{\mathrm{s}}.\)

Weitere Beispiele

Berechnen Sie die Winkelpositionen für Stundenzeiger, Minutenzeiger und Sekundenzeiger für weitere Uhrzeiten. Füllen Sie folgende Tabelle aus. Runden Sie, falls nötig, auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Uhrzeit	\(\varphi_{\mathrm{h}}\)	\(\varphi_{\mathrm{min}}\)	\(\varphi_{\mathrm{s}}\)
03:24:41
06:38:20
01:10:11
22:04:28

Lösung

Uhrzeit	\(\varphi_{\mathrm{h}}\)	\(\varphi_{\mathrm{min}}\)	\(\varphi_{\mathrm{s}}\)
03:24:41	\(102{,}34^\circ\)	\(148{,}1^\circ\)	\(246^\circ\)
06:38:20	\(199{,}17^\circ\)	\(230^\circ\)	\(120^\circ\)
01:10:11	\(35{,}09^\circ\)	\(61{,}1^\circ\)	\(66^\circ\)
22:04:28	\(302{,}23^\circ\)	\(26{,}8^\circ\)	\(168^\circ\)

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *
from random import randint

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Enter the time:
# nh, nm, ns = 5, 5, 20
nh, nm, ns = randint(0,23), randint(0,59), randint(0,59)

mod = lambda x: x%360  # modulo
rnd = lambda x: iso_round(x, 2)

deg = pi/180
h, min, s = 3600 *s, 60 *s, 1 *s

pprint("\nWallclock Time:")
wc = str(nh).zfill(2)+":"+str(nm).zfill(2)+":"+str(ns).zfill(2)
pprint(wc)

# Angular Velocities of Hands:
wh, wm, ws = 30*deg / h, 30*deg / (5*min), 30*deg / (5*s)
w = Matrix([wh, wm, ws])

pprint("\nElapsed time since midnight:")
time = nh*h + nm*min + ns*s
pprint(time)

pprint("\nHand Positions / deg:")
p = w*time
p /= deg
p = p.applyfunc(mod)
pprint(p)
p = p.applyfunc(rnd)
pprint(p)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.