M.2.C

Gegeben

Gegebene Größen:

\begin{align*} \alpha &= 30 ^\circ & \beta&=150 ^\circ & \gamma&=195 ^\circ \end{align*}

Untersuchen Sie den gegebenen Punkte und Vektoren. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Punktkoordinaten

Gegeben

Die Koordinaten von Punkt A auf dem Einheitskreis sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ \\ \sin 30^\circ \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die Punktkoordinaten der 3 Punkte A, B und C auf dem Einheitskreis. Füllen Sie folgende Tabelle aus - mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Punkt	\((x,y)\)-Koordinaten
A	\(\begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)
B	\(\begin{bmatrix} x_B \\ y_B \end{bmatrix}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)
C	\(\begin{bmatrix} x_C \\ y_C \end{bmatrix}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

Lösung

Punkt	\((x,y)\)-Koordinaten
A	\(\begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)
B	\(\begin{bmatrix} x_B \\ y_B \end{bmatrix}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)
C	\(\begin{bmatrix} x_C \\ y_C \end{bmatrix}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}97 \\ -0{,}26 \end{bmatrix}\)

b) Einheitsvektor-Komponenten

Gegeben

Die \((x,y)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_\alpha\) sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{\alpha x} \\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ \\ \sin 30^\circ \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der 3 Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_\alpha, \boldsymbol e_\beta\) und \(\boldsymbol e_\gamma\). Füllen Sie folgende Tabelle aus - mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Einheitsvektor	\((x,y)\)-Komponenten
\(\boldsymbol e_\alpha\)	\(\begin{bmatrix} e_{\alpha x} \\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol e_\beta\)	\(\begin{bmatrix} e_{\beta x} \\ e_{\beta y} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol e_\gamma\)	\(\begin{bmatrix} e_{\gamma x} \\ e_{\gamma y} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

Lösung

Einheitsvektor	\((x,y)\)-Komponenten
\(\boldsymbol e_\alpha\)	\(\begin{bmatrix} e_{\alpha x} \\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol e_\beta\)	\(\begin{bmatrix} e_{\beta x} \\ e_{\beta y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol e_\gamma\)	\(\begin{bmatrix} e_{\gamma x} \\ e_{\gamma y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_\gamma \\ s_\gamma \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}97 \\ -0{,}26 \end{bmatrix}\)

c) Vektor-Komponenten

Gegeben

Die \((x,y)\)-Komponenten des Vektors \(\boldsymbol u\) sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} &= 5 \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= 5 \begin{bmatrix} \cos 30^\circ \\ \sin 30^\circ \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 4{,}33 \\ 2{,}5 \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der 3 Vektoren \(\boldsymbol u, \boldsymbol v\) und \(\boldsymbol w\). Füllen Sie folgende Tabelle aus - mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Vektor	\((x,y)\)-Komponenten
\(\boldsymbol u\)	\(\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol v\)	\(\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol w\)	\(\begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\)

Lösung

Vektor	\((x,y)\)-Komponenten
\(\boldsymbol u\)	\(\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 4{,}33 \\ 2{,}5 \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol v\)	\(\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -4{,}33 \\ 2{,}5 \end{bmatrix}\)
\(\boldsymbol w\)	\(\begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix} = 5\begin{bmatrix} c_\gamma \\ s_\gamma \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -4{,}83 \\ -1{,}29 \end{bmatrix}\)

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*newton
Pa        =  newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

pprint("\nRadius:")
r = 5
pprint(r)

pprint("\nComponents for 30°, 150°, 195°:")
for p in (30*deg, 150*deg, 195*deg):
    cp, sp = cos(p), sin(p)
    v = Matrix([cp, sp])
    pprint(iso_round(r*v, 2))
    pprint("\n")

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.