M.2.D

Gegeben

Gegeben:

die Winkel \(\alpha, \beta\)
die Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_\alpha, \boldsymbol e_\beta, \boldsymbol e_\gamma\)
die Vektoren \(\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\) über ihre Komponenten \(u, v, w\) in Richtung der jeweiligen Einheitsvektoren.

Gegebene Größen:

\begin{align*} \alpha &= 150^\circ & \beta &= 60^\circ & \\ u &= 4 & v&= 2 & w &= 3 \end{align*}

\[\]

Untersuchen Sie die gegebenen Vektoren. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Komponenten der Einheitsvektoren

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_\alpha, \boldsymbol e_\beta, \boldsymbol e_\gamma\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{\alpha x}\\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{\beta x}\\ e_{\beta y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{\gamma x}\\ e_{\gamma y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Und zwar zuerst für die gegebenen Symbole und dann für die gegebenen Größen - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{\alpha x}\\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{bmatrix} \\ &= \left[\begin{matrix}- \frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right] \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \left[\begin{matrix}-0{,}87\\0{,}5\end{matrix}\right] \\ \begin{bmatrix} e_{\beta x}\\ e_{\beta y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos\beta \\ \sin\beta \end{bmatrix} \\ &= \left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix}0{,}5\\0{,}87\end{matrix}\right] \\ \begin{bmatrix} e_{\gamma x}\\ e_{\gamma y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos 270^\circ \\ \sin 270^\circ \end{bmatrix} \\ &= \left[\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right]\end{split}\]

b) Komponenten der Vektoren

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Vektoren \(\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{x}\\ u_{y} \end{bmatrix} &= u \begin{bmatrix} e_{\alpha x}\\ e_{\alpha y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y} \end{bmatrix} &= v \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} w_{x}\\ w_{y} \end{bmatrix} &= w \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

Und zwar für die gegebenen Größen - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{x}\\ u_{y} \end{bmatrix} & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -3{,}46 \\ 2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y} \end{bmatrix} & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1 \\ 1{,}73 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} w_{x}\\ w_{y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \end{bmatrix}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

prec = 2

alpha, beta, gamma = var("α, β, γ")
u, v, w = var("u, v, w")

sub_list=[
    (alpha, 150 *pi/180),
    (beta, 60 *pi/180),
    (gamma, 270 *pi/180),
    (u, 4),
    (v, 2),
    (w, 3),
    ]

ca, sa = cos(alpha), sin(alpha)
cb, sb = cos(beta), sin(beta)
cc, sc = cos(gamma), sin(gamma)

ea = Matrix([ca, sa])
eb = Matrix([cb, sb])
ec = Matrix([cc, sc])

pprint("\neα, u ---  eβ, v --- eγ, w:")

for pair in [(u, ea), (v, eb), (w, ec)]:
    pprint("\n")
    comp = pair[0]
    tmp = pair[1]
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    pprint(tmp)

    tmp = iso_round(tmp,prec)
    pprint(tmp)

    tmp = pair[1]
    tmp *= comp
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp = iso_round(tmp,prec)
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.