M.2.E

Gegeben

Gegeben: Die drei Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_u, \boldsymbol e_u, \boldsymbol e_w\) seien definiert entlang der drei dargestellten Diagonalen.

a) Richtungskosinus von \(\boldsymbol u\)

Berechnen Sie die drei Richtungskosinus von \(\boldsymbol e_u\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_u \\ \cos\beta_u \\ \cos\gamma_u \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Information zu Richtungskosinus

Für den Winkel \(\alpha_u\) gilt:

\(\alpha_u\) wird gemessen in der Ebene, die von \(x\) und \(\boldsymbol u\) aufgespannt wird.
\(\alpha_u\) wird gemessen zwischen \(x\) und \(\boldsymbol u\) als „kürzester Winkelabstand“.
\(0 \le \alpha_u<180^\circ\).

Für den Winkel \(\beta_u\) gilt:

\(\beta_u\) wird gemessen in der Ebene, die von \(y\) und \(\boldsymbol u\) aufgespannt wird.
\(\beta_u\) wird gemessen zwischen \(y\) und \(\boldsymbol u\) als „kürzester Winkelabstand“.
\(0 \le \beta_u<180^\circ\).

Für den Winkel \(\gamma_u\) gilt Entsprechendes, siehe Wikipedia-Artikel.

Lösung

Richtungskosinus:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_u \\ \cos\beta_u \\ \cos\gamma_u \\ \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\sqrt{a^2 + a^2}} \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ -a \\ \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{2}a} \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ -a \\ \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sqrt 2}{2} \\ 0 \\ -\tfrac{\sqrt 2}{2} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

\((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_u\) in \(\boldsymbol u\)-Richtung:

Der Einheitsvektor entlang \(\boldsymbol u\) ist gleich dem Vektor \(\boldsymbol u'\) dividiert durch dessen Betrag. Und der Einheitsvektor hat die \((x,y,z)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{ux} \\ e_{uy} \\ e_{uz} \\ \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\lVert{\boldsymbol u'}\rVert} \begin{bmatrix} u'_{x} \\ u'_{y} \\ u'_{z} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Es gilt also: Die Richtungskosinus eines Vektors sind gleich den Komponenten eines Einheitsvektor entlang diesem Vektor:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_u \\ \cos\beta_u \\ \cos\gamma_u \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_{ux} \\ e_{uy} \\ e_{uz} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Komponenten

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_u\).

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{ux} \\ e_{uy} \\ e_{uz} \\ \end{bmatrix} = \tfrac{1}{\sqrt{a^2 + a^2}} \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ -a \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Richtungskosinus von \(\boldsymbol v\)

Berechnen Sie die drei Richtungskosinus von \(\boldsymbol v\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_v \\ \cos\beta_v \\ \cos\gamma_v \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie zum Vergleich die \((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_v\) in \(\boldsymbol v\)-Richtung.

Information zu Phasenverschiebung

../../../_images/M.2.E_trig.png — Zu Phasenverschiebungen und Periodizität siehe hier.

Lösung

Richtungskosinus:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_v \\ \cos\beta_v \\ \cos\gamma_v \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sqrt 6}{6} \\ 2\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ -\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

\((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_v\) in \(\boldsymbol v\)-Richtung:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{vx} \\ e_{vy} \\ e_{vz} \\ \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\sqrt{a^2 + (2a)^2 + a^2}} \begin{bmatrix} a \\ 2a \\ -a \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sqrt 6}{6} \\ 2\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ -\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Es gilt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_v \\ \cos\beta_v \\ \cos\gamma_v \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_{vx} \\ e_{vy} \\ e_{vz} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

c) Richtungskosinus von \(\boldsymbol w\)

Berechnen Sie die drei Richtungskosinus von \(\boldsymbol w\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_w \\ \cos\beta_w \\ \cos\gamma_w \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie zum Vergleich die \((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_w\) in \(\boldsymbol w\)-Richtung.

Lösung

Richtungskosinus:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \cos\alpha_w \\ \cos\beta_w \\ \cos\gamma_w \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ 2\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ -\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

\((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_v\) in \(\boldsymbol v\)-Richtung:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{wx} \\ e_{wy} \\ e_{wz} \\ \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\sqrt{a^2 + (2a)^2 + a^2}} \begin{bmatrix} -a \\ 2a \\ -a \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ 2\tfrac{\sqrt 6}{6} \\ -\tfrac{\sqrt 6}{2} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

prec = 2

w2, w6 = sqrt(2), sqrt(6)
w22, w66 = w2/2, w6/6

eu = Matrix([ w22, 0, -w22])
ev = Matrix([ w66, 2*w66, -w66])
ew = Matrix([-w66, 2*w66, -w66])

u, v, w = 2, 3, 3
U, V, W = u*eu, v*ev, w*ew

pprint("\nu, v, w:")
for vec in [U, V, W]:
    tmp = iso_round(vec, prec)
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.