M.2.H

Gegeben

Ein Teilchen A (ein strömender Fluss) bewegt sich relativ zur Umgebung U (relativ zum Ufer) mit konstanter Geschwindigkeit \(w\).
Ein Teilchen B (ein Motorboot) bewegt sich relativ zu A mit konstanter Geschwindigkeit \(v\).
Für die Strecke \(s\) braucht das Motorboot entweder 20 Minuten oder 40 Minuten - je nachdem, ob es „stromab“ oder „stromauf“ fährt.

Berechnen Sie die Fahrtdauer für die Strecke \(s\) bei einer Fahrt ohne Strömung, d.h. für \(w=0\). In diesem Fall hat das Boot auch relativ zur Umgebung die Geschwindigkeit \(v\).

Lösung

Geschwindigkeit = Weg pro Zeit.
Eindimensionale Bewegung.
Folgende Gleichungen berücksichtigen den Vektor-Charakter der Geschwindigkeiten korrekt:

\begin{align*} v + w &= \tfrac{s}{20\,\mathrm{min}} \\ v - w &= \tfrac{s}{40\,\mathrm{min}} \\ v + 0 &= \tfrac{s}{t} \\ \end{align*}

Dies sind 3 Gleichungen.
Es gibt 4 Unbekannte, nämlich \(v, w, s, t\).
Im Allgemeinen kann man die 4 Unbekannten nicht berechnen.

Aber \(w\) lässt sich eliminieren. Und es entsteht dann aus den ersten zwei Gleichungen eine Gleichung ohne \(w\).

\begin{align*} 2 v &= \left\{\tfrac{1}{20\,\mathrm{min}}+\tfrac{1}{40\,\mathrm{min}}\right\} s \\ v &= \tfrac{s}{t} \\ \end{align*}

Elimination von entweder \(s\) oder \(v\) führt auf \(t\):

\begin{align*} \tfrac{2}{t} &= \tfrac{1}{20\,\mathrm{min}}+ \tfrac{1}{40\,\mathrm{min}} \\ \tfrac{2}{t} &= \tfrac{2+1}{40\,\mathrm{min}} \\ \\ t &= \tfrac{80}{3}\,\mathrm{min} \\ &= 1600\,\mathrm{s}\\ &= 26\,\mathrm{min} + 40\,\mathrm{s}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 26{,}7\,\mathrm{min} \\ \end{align*}

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
minute    = 60 *second

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

v, w, s, t = var("v, w, s, t", positive=True)

eq1 = Eq( v + w, s / (20*minute) )
eq2 = Eq( v - w, s / (40*minute) )
eq3 = Eq(     v, s / t           )

sol = solve([eq1,eq2,eq3])
sol = sol[0]
t = sol[t]

pprint("\nDuration:")
pprint("\nt / s:")
tmp = t/second
pprint(tmp)

pprint("\nt / min:")
tmp = t/minute
tmp = iso_round(tmp, 4)
pprint(tmp)

pprint("\nt:")
tm = t/second // 60
ts = t/second % 60
print(str(tm)+" Minutes and " + str(ts) + " Seconds.")

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.