Tags: Moodle-Aufgabe

M.2.J

Gegeben

Verschiedene Vektoren in der \((x,y)\)-Ebene.

Gegeben: Die Positionen von 4 Punkten:

Punkt	\(x \, / \, \mathrm{m}\)	\(y \, / \, \mathrm{m}\)
1	\(2\)	\(1\)
2	\(6\)	\(4\)
1‘	\(1\)	\(\tfrac 3 2\)
2‘	\(4\)	\(6\)

Gesucht:

• die tatsächliche Stabverlängerung \(\Delta \ell\) sowie

• die genäherte Stabverlängerung \(\Delta l\).

Lösung auf einer Seite

a) Vektoren \(\boldsymbol r\) und \(\boldsymbol r'\)

Sei:

• \(\boldsymbol r\) (blau): Vektor von 1 nach 2

• \(\boldsymbol r'\) (rot): Vektor von 1‘ nach 2‘

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol r\) und \(\boldsymbol r',\) und zwar in \(\mathrm m\) (Meter).

\begin{align*} \begin{bmatrix}r_x \\ r_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \begin{bmatrix}r'_x\\r'_y\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \mathrm{m} \end{align*}

Lösung

\begin{align*} \begin{bmatrix}r_x \\ r_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}6\\4\end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \begin{bmatrix}r'_x\\r'_y\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix}1\\\tfrac{3}{2}\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}3\\ \tfrac{9}{2} \end{bmatrix} \mathrm{m} \end{align*}

b) Längen \(l\) und \(l'\)

Berechnen Sie die Beträge = die Längen der Vektoren \(\boldsymbol r\) und \(\boldsymbol r',\) und zwar in \(\mathrm m\) (Meter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

\begin{align*} l = \lVert \boldsymbol r \rVert &= \ldots \,\mathrm{m} \\ l' = \lVert \boldsymbol r' \rVert & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots \,\mathrm{m} \end{align*}

Lösung

\begin{align*} l &= \sqrt{r_x^2 + r_y^2} \\ &= \sqrt{\left(4\,\mathrm{m}\right) + \left(3\,\mathrm{m}\right)^2} \\ &= \sqrt{16 \,\mathrm{m}^2 + 9 \,\mathrm{m}^2} \\ &= 5 \,\mathrm{m} \\ r' &= \sqrt{{r'_x}^2 + {r'_y}^2} \\ &= \sqrt{{3}^2 + {\left(\tfrac 9 2 \right)}^2}\mathrm{m} \\ &= \sqrt{\tfrac{36 + 81}{4}}\,\mathrm{m} \\ &= \sqrt{\tfrac{9\cdot 13}{4}}\,\mathrm{m} \\ &= \tfrac 3 2 \sqrt{13}\, \mathrm{m} \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 5{,}41 \,\mathrm{m} \end{align*}

c) Winkelposition \(\varphi\)

Berechnen Sie die Winkelposition \(\varphi\) des Vektors \(\boldsymbol r.\)

Lösung

Siehe hierzu M.2.A.

\begin{align*} \varphi &= 2\arctan{}\tfrac{r_y}{l + r_x} \\ &= 2\arctan{}\tfrac{3}{5+4} \\ &= 2\arctan{}\tfrac{1}{3} \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 36{,}87^\circ \end{align*}

d) Einheitsvektor \(\boldsymbol e\)

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol e\) entlang \(\boldsymbol r\).

Lösung

Die Komponenten des Einheitsvektors sind:

\begin{align*} \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix} \end{align*}

Das heißt: Berechnet werden muss der Kosinus und der Sinus des Winkels \(\varphi\). Es gibt folgende Möglichkeiten, das zu tun:

1. Ausgehend von den \((x,y)\)-Komponenten des Vektors \(\boldsymbol r\):

   \[\begin{split}\begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix} &= \tfrac 1 l \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{4}{5} \\ \tfrac{3}{5} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}6 \end{bmatrix}\end{split}\]

2. Ausgehend vom Winkel \(\varphi=2\arctan \tfrac 1 3\) (berechnet im letzten Aufgabenteil) verwendet man die Formel:

   \[\begin{split}\begin{bmatrix} c_{2\arctan x} \\ s_{2\arctan x} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{1-x^2}{1+ x^2} \\ \tfrac{2x}{1+ x^2} \end{bmatrix}\end{split}\]
   Anschauliche Herleitung dieser Formel

   siehe M.1.A

   Einsetzen von \(x=\tfrac 1 3\) in die Formel liefert:

   \[\begin{split}\begin{bmatrix} c_\varphi \\ s_\varphi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{1 - \left({\tfrac 1 3}\right)^2}{1 + \left({\tfrac 1 3}\right)^2} \\ \tfrac{2 \tfrac 1 3}{1 + \left({\tfrac 1 3}\right)^2} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}6 \end{bmatrix}\end{split}\]

e) Vektoren \(\boldsymbol u_1\) und \(\boldsymbol u_2\)

Sei:

• \(\boldsymbol u_1\) (grün): Vektor von 1 nach 1‘

• \(\boldsymbol u_2\) (grün): Vektor von 2 nach 2‘

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol u_1\) und \(\boldsymbol u_2\).

Lösung

\begin{align*} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1\\ \tfrac{3}{2} \end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix} -1\\ \tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4\\ 6 \end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix} 6\\ 4 \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix} \mathrm{m} \end{align*}

f) Vektor \(\boldsymbol{\Delta u}\)

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten des Vektors:

\[\boldsymbol{\Delta u} = \boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1\]

Lösung

\begin{align*} \boldsymbol{\Delta u} &= \boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \\ \begin{bmatrix} {\Delta u}_{x} \\ {\Delta u}_{y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}r'_x\\r'_y\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}r_x\\r_y\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}-1\\\frac{3}{2}\end{bmatrix} \mathrm{m} \end{align*}

g) Tatsächliche Verlängerung \(\Delta \ell\)

Wenn der Vektor \(\boldsymbol r'\) hervorgeht aus dem Vektor \(\boldsymbol r\), indem man Stab-Anfang um \(\boldsymbol u_1\) und Stab-Ende um \(u_2\) verschiebt: Dann kann man die Vektor-Verlängerung messen als:

\[\begin{split}\Delta \ell &= l' - l \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots\,\mathrm{m}\end{split}\]

Berechnen Sie diese tatsächliche Verlängerung , und zwar in \(\mathrm m\) (Meter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01.\)

Lösung

\[\begin{split}\Delta\ell &= l' - l \\ &=\left\{ \tfrac{3 \sqrt{13}}{2} - 5 \right\} \mathrm{m} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}41\,\mathrm{m}\end{split}\]

h) Genäherte Verlängerung \(\Delta l\)

Der Anteil von \(\boldsymbol{\Delta u}\) in Richtung (des Einheitsvektors) \(\boldsymbol e\) ist eine Näherung für die tatsächliche Verlängerung.

Berechnen Sie diese genäherte Verlängerung - und zwar in \(\mathrm m\) (Meter).

\[\begin{split}\boldsymbol{\Delta u} &= \boldsymbol e \cdot \boldsymbol{\Delta u} \\ &= \ldots\,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

\begin{align*} \Delta l &= \boldsymbol e \cdot \boldsymbol{\boldsymbol{\Delta u}} \\ &= \begin{bmatrix} 0{,}8 &0{,}6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1\\ \tfrac{3}{2} \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= -0{,}8\,\mathrm{m}+0{,}9\,\mathrm{m}\\ &= 0{,}1\,\mathrm{m}\\ \end{align*}

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*newton
Pa        =  newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# pprint("\nIdentities:")
# var("x")
# pprint("\ncos(2 arctan(x)):")
# tmp = cos(2*atan(x))
# tmp = tmp.trigsimp()
# pprint(tmp)
# pprint("\nsin(2 arctan(x)):")
# tmp = sin(2*atan(x))
# tmp = tmp.trigsimp()
# pprint(tmp)

def print_in_m(L):
    tmp = L / m
    # pprint(tmp)
    tmp = iso_round(tmp,prec)
    pprint(tmp)
    return

# Output precision:
prec = 2

P1  = Matrix([2,1]) *m
P2  = Matrix([6,4]) *m
P1p = Matrix([1,1+half]) *m
P2p = Matrix([4,6]) *m

pprint("\nr / m:")
r = P2 - P1
print_in_m(r)

pprint("\nr' / m:")
rp = P2p - P1p
print_in_m(rp)

pprint("\n|r| / m:")
rabs = r.norm()
print_in_m(rabs)

pprint("\n|r'| / m:")
rpabs = rp.norm()
print_in_m(rpabs)

pprint("\nφ / deg:")
rx, ry = r[0], r[1]
phi = 2*atan(ry/(rabs + rx))
tmp = phi / deg
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

pprint("\ne:")
c, s = cos(phi), sin(phi)
e = Matrix([c, s])
tmp = e
pprint(tmp)
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

pprint("\nu1 / m:")
u1 = P1p - P1
print_in_m(u1)

pprint("\nu2 / m:")
u2 = P2p - P2
print_in_m(u2)

pprint("\nd:")
d = u2 - u1
print_in_m(d)

pprint("\nΔℓ / m:")
dl = rpabs - rabs
tmp = dl
print_in_m(tmp)

pprint("\nΔl / m")
ed = e.dot(d)
tmp = ed
tmp /= m
tmp = tmp.trigsimp()
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

3. Play: Knopf ▶ drücken.