M.3.B
Gegeben
das grüne \((x,y,z)\)-Bezugssystem,
das blaue \((\bar x, \bar y, \bar z)\)-Bezugssystem, welches relativ zum \((x,y,z)\)-System gedreht ist um den Winkel \(\varphi\), und zwar um die gemeinsame \(z = \bar z\)-Achse,
die Transformationsformel für die Komponenten eines Vektors \(\boldsymbol v\):
\begin{align*} \begin{bmatrix} v_{\bar x} \\ v_{\bar y} \\ v_{\bar z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\varphi & s_\varphi & 0 \\ -s_\varphi & c_\varphi& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} \end{align*}und ein symmetrischer Tensor \(\boldsymbol T\) über seine \((x,y,z)\)-Komponenten:
\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz}\\ & T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & & T_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ & 4 & 0 \\ \mathsf{sym} & & 8 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]
Berechnen Sie die \((\bar x, \bar y, \bar z)\)-Komponenten des Tensors \(\boldsymbol T\) für \(\varphi=45^\circ\).
Markieren Sie die wahre Aussage.
\(\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ & 3 & 0 \\ \mathsf{sym}& & 8 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \frac{\sqrt 2}{2} & 0 & 0 \\ & \frac{\sqrt 2}{4} & 0 \\ \mathsf{sym}& & 8 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \sqrt 2 & 0 & 0 \\ & 2 \sqrt 2 & 0 \\ \mathsf{sym}& & 8 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \frac{\sqrt 2}{4} & 0 & 0 \\ & \frac{\sqrt 2}{2} & 0 \\ \mathsf{sym}& & 8 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ & 2 & 0 \\ \mathsf{sym}& & 8 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \sqrt 2& 0 & 0 \\ & \frac{\sqrt 2}{2}& 0 \\ \mathsf{sym}& & 8 \end{bmatrix}\)
Es geht um eine Drehung in der \((x,y)\)-Ebene, die identisch ist mit der \((\bar x, \bar y)\)-Ebene, d.h. es geht um eine Drehung um die \(z\)-Achse, die identisch ist mit der \(\bar z\)-Achse. Der Mohr’sche Kreis kann verwendet werden. Für \(\varphi=45^\circ\) liest man ab: \(T_{\bar x \bar x }=3\) \(T_{\bar x \bar y }=1\) \(T_{\bar y \bar y }=3\)Lösung