M.4.A

Linearisierung \(L_9\) der Funktion \(\sqrt x\) bei \(x=9\).

Verwenden Sie Linearisierungen, um Funktionswerte näherungsweise zu berechnen. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Wurzel-Funktion

Berechnen Sie die Ableitung von \(f(x)=\sqrt x\):

\[f'(x)= \dots\]

Zeichnen Sie \(f(x)\) und \(f'(x)\) für \(1<x<25\) in ein Diagramm.

Und berechnen Sie:

\[\begin{split}f(9) &= \dots \\ f'(9) &= \dots \\ f(16) &= \dots \\ f'(16)&= \dots\end{split}\]

Lösung

\[f'(x)= \tfrac{1}{2 \sqrt x}\]

\[\begin{split}f(9) &= 3 \\ f'(9) &= \tfrac{1}{2\sqrt9} = \tfrac16 \\ f(16) &= 4 \\ f'(16)&= \tfrac{1}{2\sqrt{16}} = \tfrac18\end{split}\]

b) Linearisierung bei x=9

Berechnen Sie eine Näherung für \(\sqrt{10}\) mit einer Taylorreihe. Berechnen Sie die Linearisierung der Wurzelfunktion an der Stelle \(x=9\). Und werten Sie diese Linearisierung aus bei \(x=10\).

Sei \(L_a\) die Linearisierung der Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt x\) bei \(x=a\). Hierfür berechnet man (vgl. Beispiel: Wurzelfunktion):

\[L_a = \sqrt a + \tfrac{x-a}{2 \sqrt a}\]

Die Linearisierung der Wurzelfunktion bei \(x=9\) ist:

\[\begin{split}L_9 &= \sqrt 9 + \tfrac{x-9}{2 \sqrt 9} \\ &= 3 + \tfrac{x-9}{6}\end{split}\]

Und diese Linearisierung kann man auswerten bei \(x=10\).

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001\). Zeigen Sie, dass:

\[L_9(x=10) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}167\]

Lösung

\[\begin{split}L_9(10) &=3 + \tfrac16 \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}167\end{split}\]

Und dies ist die gesuchte Näherung für \(\sqrt{10}\).

Hinweis

Gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}0000000001\) ist:

\[\sqrt{10} \stackrel{0{,}0000000001}{\approx} 3{,}1622776602\]

c) Linearisierung bei x=16

Berechnen Sie eine Näherung für \(\sqrt{15}\) mit der Linearisierung der Wurzelfunktion bei \(x=16\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001\). Zeigen Sie, dass:

\[L_{16}(15)\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}875\]

Lösung

Sei \(L_a\) die Linearisierung der Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt x\) bei \(x=a\). Hierfür berechnet man (vgl. Beispiel: Wurzelfunktion):

\[L_a = \sqrt a + \tfrac{x-a}{2 \sqrt a}\]

Die Linearisierung der Wurzelfunktion bei \(x=16\) ist:

\[L_{16} = \sqrt 16 + \tfrac{x-16}{2 \sqrt 16}\]

Diese Funktion ausgewertet bei \(x=15\) ist:

\[\begin{split}L_{16}(15) &= 4 + \tfrac{15-16}{8} \\ &=4 - \tfrac18 \\ &= 3{,}875\end{split}\]

Und dies ist die gesuchte Näherung für \(\sqrt{15}\).

Hinweis

Gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}0000000001\) ist:

\[\sqrt{15} \stackrel{0{,}0000000001}{\approx} 3{,}8729833462\]