M.4.B

Linearisierung \(L_9\) der Funktion \(\sqrt x\) bei \(x=9\).

Betrachten Sie die Funktion \(f(x)=\sqrt x\) und zwei Linearisierungen dieser Funktion:

• die Linearisierung bei \(x=9\), genannt \(L_9\) (siehe Bild) und

• die Linearisierung bei \(x=16\), genannt \(L_{16}\).

Berechnen Sie Näherungen für \(\sqrt{9{,}2}\) und \(\sqrt{15{,}8}\) durch Verwendung der beiden Linearisierungen.

a) Linearisierung bei x=9

Berechnen Sie die Linearisierung ausgewertet bei \(9{,}2\):

\[L_9(9{,}2) = \dots\]

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001\). Zeigen Sie, dass:

\[L_9(9{,}2) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}033\]

Lösung

siehe M.4.A

\[\begin{split}L_9(9{,}2) &= \sqrt 9 + \tfrac{9{,}2-9}{2 \sqrt 9} \\ &=3 + \tfrac{0{,}2}{6} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}033\end{split}\]

Also ist:

\[\sqrt{9{,}2}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}033\]

Hinweis

Gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}0000000001\) ist:

\[\sqrt{9{,}2} \stackrel{0{,}0000000001}{\approx} 3{,}0331501776\]

b) Linearisierung bei x=16

Berechnen Sie:

\[L_{16}(15{,}8) = \dots\]

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001\). Zeigen Sie, dass:

\[L_{16}(15{,}8) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}975\]

Lösung

siehe M.4.A

\[\begin{split}L_{16}(15{,}8) &= \sqrt 16 + \tfrac{15{,}8-16}{2 \sqrt{16} } \\ &= 4 + \tfrac{-0{,}2}{8} \\ &= 3{,}975\end{split}\]

Also ist:

\[\sqrt{15{,}8} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 3{,}975\]

Hinweis

Gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}0000000001\) ist:

\[\sqrt{15{,}8} \stackrel{0{,}0000000001}{\approx} 3{,}9749213829\]