M.4.C

Verwenden Sie Linearisierungen, um Funktionswerte näherungsweise zu berechnen. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Sinus-Funktion

Berechnen Sie eine Näherung für \(\sin\left(33{,}6^\circ\right)\) indem Sie die Linearisierung \(L_{30^\circ}\) der Sinusfunktion \(f(\varphi) = \sin \varphi\) an der Stelle \(\varphi=30^\circ\) verwenden, indem Sie also berechnen:

\[L_{30^\circ}(33{,}6^\circ) = \ldots\]

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}00001\). Zeigen Sie, dass:

\[L_{30^\circ}(33{,}6^\circ) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}00001}}{\approx} 0{,}55441\]

Lösung

\[\begin{split}L_{30^\circ}(33{,}6^\circ) &= f(30^\circ)+f'|_{\varphi=30^\circ}(33{,}6^\circ-30^\circ) \\ &= \sin\left(30^\circ\right) + \cos\left(30^\circ\right) 3{,}6^\circ \\ &= \tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2} 3{,}6^\circ\\ &= \tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2} 3{,}6^\circ\tfrac{\pi}{180^\circ}\\ &= \tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2} 3{,}6\tfrac{\pi}{180}\\ &= \tfrac12 + \sqrt3 \cdot 1{,}8\tfrac{\pi}{180}\\ &= \tfrac12 + \sqrt3 \tfrac{\pi}{100}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}00001}}{\approx} 0{,}55441\end{split}\]

Hinweis

\(\sin 33.6^\circ\) ist gerundet auf \(0{,}0000000001\):

\[\sin 33.6^\circ \stackrel{0{,}0000000001}{\approx} 0{,}5533915492\]

b) Kosinus-Funktion

Berechnen Sie eine Näherung für \(\cos\left(3.6^\circ\right)\) indem Sie die Linearisierung \(L\) der Kosinusfunktion \(f(\varphi) = \cos \varphi\) an der Stelle \(\varphi=0^\circ\) verwenden, indem Sie also berechnen:

\[L_{0^\circ}(3{,}6^\circ) = \ldots\]

Zeigen Sie, dass:

\[L_{0^\circ}(3{,}6^\circ) = 1\]

Lösung

Für \(\varphi=3{,}6^\circ\)

\[\begin{split}L_{0^\circ}(3{,}6^\circ) &=f(0^\circ)+f'|_{\varphi=0^\circ}(3{,}6^\circ-0^\circ)\\ &=\cos 0^\circ + (-\sin 0^\circ)(3{,}6^\circ-0^\circ)\\ &=1 - 0 \\ &=1\end{split}\]

Hinweis

\(\cos 3{,}6^\circ\) ist gerundet auf \(0{,}0000000001\):

\[\cos 3{,}6^\circ \stackrel{0{,}0000000001}{\approx} 0{,}9980267284\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(k, M, G ) = ( 10**3, 10**6, 10**9 )
(mm, cm) = ( m/1000, m/100 )
Newton = kg*m/s**2
Pa     = Newton/m**2
MPa    = M*Pa
GPa    = G*Pa
kN     = k*Newton
deg    = pi/180
half = S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

pprint("\nExact sin(33.6°) - rounded to 0.0000000001:")
tmp = S(336)/10 * deg
tmp = sin(tmp)
tmp = iso_round(tmp, 10)
pprint(tmp)

pprint("\nsin(33.6°) from linearisation - rounded to 0.00001:")
sin30 = sin(30*deg)
dy = cos(30*deg) * 3.6 *deg
tmp = sin30 + dy
tmp = iso_round(tmp, 5)
pprint(tmp)

pprint("\nExact cos(3.6°) - rounded to 0.0000000001:")
tmp = S(36)/10 * deg
tmp = cos(tmp)
tmp = iso_round(tmp, 10)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.